La série est d'après la question précédente uniformément convergente sur . Elle est de plus convergente en , la convergence est donc uniforme sur .

De plus, .

Le théorème d'interversion de limites s'applique puisque chacune des fonctions admet une limite en et puisque la série est uniformément convergente sur : on en déduit que la somme de la série admet une limite en et .