1. La série de terme général est une série alternée car .

      La suite décroît vers , donc la série alternée converge d'après le critère de convergence de certaines séries alternées.

    2. Soit un intervalle tel que , la suite est décroissante, converge uniformément vers puisque , où .

      , donc la suite converge bien uniformément vers .

      D'après le critère de convergence uniforme de certaines séries alternées, la série converge uniformément sur l'intervalle .

    3. Les fonctions sont dérivables sur et .

      Considérons à nouveau un intervalle .

      La série converge normalement sur l'intervalle : et, comme , la série de terme général est convergente.

      D'après la forme locale du théorème de dérivation :

      - la série converge sur ,

      - les fonctions sont dérivables sur ,

      - la série un converge normalement (donc uniformément) sur tout intervalle :

      on peut alors en déduire que la fonction est dérivable sur et que sa dérivée est .

    4. , donc

      Rappel : si une série est absolument convergente, alors on peut décomposer sa somme : en la somme des termes pairs et impairs :

      En effet, si on note la somme partielle d'ordre , les suites ( ) et ( ) sont absolument convergentes.

      La série de terme général est donc absolument convergente (sa somme partielle d'ordre est ) et on en déduit que les séries de terme général et sont absolument convergentes (inégalité triangulaire).

      Comme , on en déduit en faisant tendre vers l'infini que :

      Comme , on en déduit que .

      Nous pouvons à présent calculer .

      Cette série est absolument convergente, donc on peut décomposer en somme des termes pairs et impairs : .

      On en tire : .

  1. Soit , .

    La série ne converge pas uniformément sur (elle ne converge pas pour ), ni même sur car s'il y avait convergence uniforme sur , chacun des termes ayant une limite lorsque tend vers , la série serait convergente en .

    On ne dispose donc pas d'argument pour intervertir directement le signe somme et le symbole intégrale.

    Soit : la série géométrique converge uniformément sur , donc sur on peut intervertir le signe somme et le symbole intégrale :

    Introduisons la fonction définie sur par : .

    Nous cherchons à montrer que , nous connaissons pour tout : et ( continue en 1).

    Il nous reste à démontrer que .

    C'est un problème d'interversion de limite et de signe somme. Cette interversion est possible si la série converge uniformément pour .

    C'est une série alternée, la suite est une suite décroissante qui converge uniformément vers sur , puisque .

    D'après le critère de convergence uniforme de certaines séries alternées, la série converge uniformément sur , on peut donc intervenir la limite et le signe somme.

    D'où : .