Puisque est vecteur propre pour la valeur propre , on a .

La fonction de dans définie par a donc pour dérivée

Comme , est bien la solution (unique) cherchée.

Lorsque parcourt , parcourt l'ensemble donc l'image de la solution est l'ensemble , c'est-à-dire la demi-droite ouverte engendrée par V.

Pour toute constante réelle , la fonction est aussi une solution (c'est l'unique solution vérifiant ). Elle a pour image cette même demi-droite.

Réciproquement, si une solution a cette demi-droite pour image, il existe un tel que . Puisque la solution vérifie la même condition initiale, le théorème d'unicité montre que l'on a .