La figure ci-dessous fournit, pour les 4 systèmes proposés, le régionnement d'une partie du plan selon les signes de et de . En cliquant sur cette figure, vous pouvez faire apparaître suffisamment de solutions pour avoir une idée précise du portrait de phase.

Vous trouverez en dessous, pour chaque système, les calculs qui permettent de déterminer la nature de chaque point stationnaire.

No Java Support.

Le système

admet quatre points stationnaires : A(1, 4) ; B(4, 1) ; C( -1, -4); D(-4, -1).

La matrice jacobienne est

Au point A, elle vaut donc

Son polynôme caractéristique étant , dont les racines sont complexes, de partie réelle positive.

Le point A est donc un foyer répulsif.

Au point B, elle vaut

Son polynôme caractéristique est , dont les racines sont réelles de signe contraire : le point B est donc un col.

On trouve de même que le point C est un foyer attractif, et que le point D est un col.

Le système admet deux points stationnaires : A(1, 1) et B(-1, -1).

La matrice jacobienne est

Au point A, elle vaut

Son polynome caractéristique dont les racines sont complexes, de partie réelle positive.

Le point A est donc un foyer répulsif.

Au point B, elle vaut

Son polynome caractéristique dont les racines sont réelles de signes contraires.

Le point B est donc un col.

Le système admet une infinité de points stationnaires .

Si n est pair, la matrice jacobienne vaut

Son polynôme caractéristique est , dont les racines sont complexes, de partie réelle négative.

Le point est donc un foyer attractif.

Si n est impair, la matrice jacobienne vaut

Son polynôme caractéristique est , dont les racines sont réelles de signes contraires.

Le point est donc un col.

Le système admet trois points stationnaires A(0, 0), B(1, 0) et C(2, -1).

Au point A, la jacobienne est , dont les valeurs propres sont bien sûr 1 et 2, donc réelles positives : le point A est un nœud répulsif.

On montre, toujours en calculant les valeurs propres des jacobiennes, que le point B est un col, et le point C un foyer attractif.