Energie électrostatique

On charge un condensateur en branchant un générateur entre ses armatures. Ce générateur fait passer des électrons d'une armature à l'autre. Comme la distribution des électrons dans l'espace est modifiée, il s'ensuit une augmentation de l'énergie potentielle électrique du système de charges se trouvant dans les armatures. C'est cette augmentation d'énergie potentielle électrique que l'on appelle énergie du condensateur. L'énergie ainsi emmagasinée dans le condensateur a été fournie par le générateur.

Pour calculer cette énergie, imaginons que le condensateur soit chargé peu à peu, de sorte que la charge du condensateur consiste en une succession d'états d'équilibre infiniment voisins. Par exemple, le condensateur étant initialement déchargé, appliquons entre ses armatures une d.d.p. très petite \(\mathrm d V\). On obtient ainsi un état d'équilibre. Pour passer à un second état d'équilibre, augmentons de nouveau la d.d.p. de \(\mathrm d V\) ; elle devient donc \(\mathrm d V + \mathrm d V = 2~\mathrm d V\). Après un très grand nombre \(n\) de ces processus élémentaires, le condensateur est chargé sous la d.d.p. désirée : \(V_A - V_B = n~\mathrm d V\).

Calculons l'augmentation d'énergie potentielle correspondant au passage d'un état d'équilibre au suivant. A un certain stade du processus de charge, l'armature (\(\mathrm A\)) porte la quantité d'électricité \(q\), l'armature (\(\mathrm B\)) la quantité d'électricité \(-q\) et la d.d.p. vaut \(V_A - V_B\).

Augmentons de \(\mathrm d V\) la d.d.p. pour obtenir l'état d'équilibre suivant. Une très petite quantité d'électricité négative \(- \mathrm d q\) (des électrons) passe de l'armature (\(\mathrm A\)) au potentiel \(V_A\) à l'armature (\(\mathrm B\)) au potentiel \(V_B\). Il s'ensuit la variation de l'énergie potentielle électrique :

\(\mathrm d W = - \mathrm d q (V_B - V_A)\)

\(\mathrm d W = \mathrm d q (V_A - V_B) > 0\)

Introduisons la charge \(Q\) de l'armature (\(\mathrm A\)) qui est proportionnelle à la capacité \(C\) du condensateur et à la d.d.p. \(V_A - V_B\) :

\(q = C (V_A - V_B)\)

on obtient alors :

\(\mathrm d W = \frac{1}{C} ~ q ~ \mathrm d q\) ,

relation qui donne la variation \(\mathrm d W\) de l'énergie, lorsque la charge de l'armature (\(\mathrm A\)) passe de la valeur \(q\) à la valeur très voisine \(q + dq\). L'énergie \(W\) emmagasinée dans le condensateur, lorsque la charge de l'armature (\(\mathrm A\)) passe de la valeur zéro (condensateur déchargé) à une valeur \(Q_A\), s'obtient en faisant la somme des variations élémentaires \(\mathrm d W\) :

\(\displaystyle{W = \int_0^{Q_A} \frac{1}{C} ~ q ~ \mathrm d q = \frac{1}{C} \int_0^{Q_A} ~ q ~ \mathrm d q = \frac{1}{C}~\frac{Q_A^2}{2}}\)

On peut exprimer cette énergie en fonction de la d.d.p. \(V_A - V_B\) entre les armatures ; on a :

\(Q_A=C(V_A - V_B)\)

On obtient donc :