A-OP-RS-Z
A-O
Circulation d'un champ vectoriel
  • La circulation du vecteur le long de la courbe entre deux points et , est définie par le scalaire :

    étant un point de et le vecteur déplacement élémentaire tangent à au point .

  • Soit, dans un repère orthonormé direct , un champ vectoriel et un point de coordonnées , et appartenant à une courbe orientée quelconque avec :

    et

    • La circulation de le long de la courbe entre deux points et s'écrit : .

    • La circulation est une intégrale curviligne qui dépend, dans le cas général, de la forme de la courbe .'

  • Lorsque la circulation du vecteur le long de la courbe entre deux points et ne dépend pas du chemin suivi pour aller de à , alors :

    • On peut écrire

      et étant les valeurs prises par la fonction potentiel aux points et .

    • La circulation est nulle le long d'un contour fermé quelconque ( ) : on dit que cette circulation est conservative.

Flux d'un champ vectoriel à travers une surface

On appelle flux du champ vectoriel à travers une surface, le scalaire défini par l'intégrale de surface :

  • lorsque est un point d'une surface ouverte .

  • lorsque est un point d'une surface fermée .

    Dans ce cas, le champ vectoriel est à flux conservatif si le flux de à travers une surface fermée quelconque est nul.

Infinie (distribution), infiniment long

Deux attitudes sont possibles lorsqu'il s'agit d'étudier les propriétés de l'espace dues à des distributions telles qu'un fil, un cylindre, un disque,... :

  • on imagine que la distribution est infinie (une droite, un cylindre infini, un plan,...) et on peut considérer n'importe quel point de l'espace ;

  • on sait que la distribution ayant forcément des dimensions finies, le domaine d'étude est restreint à une région limitée, voire très limitée, centrée sur la distribution.

Laplacien
  • Le laplacien scalaire d'un champ scalaire est un opérateur du deuxième ordre noté qui agit sur un champ scalaire.

    Soit un champ scalaire, son laplacien est défini par la relation :

    Le laplacien scalaire transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire.

    Expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de repérage :

    Repérage cartésien :

    Repérage cylindrique :

    Repérage sphérique :

  • Le laplacien vectoriel d'un champ vectoriel est un opérateur du deuxième ordre noté qui agit sur un champ vectoriel.

    Soit un champ vectoriel, son laplacien est défini par la relation :

    Le laplacien vectoriel transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel.

    Expression du laplacien vectoriel en repérage cartésien :

Ligne de champ

Ligne en tout point de laquelle le champ est tangent.

P-R
Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs et faisant entre eux un angle est un vecteur noté , perpendiculaire au plan défini par et , de sens tel que le trièdre , , soit direct et de norme .

Pseudo-scalaire

Un pseudo-scalaire est défini par sa valeur numérique mais son signe est lié à la convention d'orientation de l'espace.

Exemples : moment d'une force par rapport à un axe, moment cinétique par rapport à un axe.

Pseudo-vecteur

On dit aussi vecteur axial. Il est défini par :

  • une direction qui est généralement un axe de rotation,

  • un sens sur cet axe, lié à la convention adoptée pour l'orientation de l'espace,

  • sa norme.

On le distingue des vecteurs polaires par une flèche courbe :

S-Z
Sens direct ou sens trigonométrique

Sens inverse à celui dans lequel se déplacent les aiguilles d'une montre.

Sens inverse ou sens rétrograde

Sens dans lequel se déplacent les aiguilles d'une montre.

Surface fermée

Une surface fermée est une surface dépourvue de toute "ouverture". On peut se représenter ce type de surface en l'imaginant matérielle et rigide ; elle pourrait contenir un liquide sans qu'il puisse s'en échapper. On oriente une surface fermée en définissant en tout point de , un vecteur unitaire orthogonal à : par convention, il est toujours orienté vers l'extérieur de la surface .

Surface ouverte

Une surface ouverte est une surface pourvue d'une "ouverture" unique délimitée par un contour fermé .

On peut se représenter ce type de surface en l'imaginant matérielle et rigide ; un liquide ne pourrait pas y être maintenu car il pourrait s'échapper par l'ouverture.

  • On oriente une surface ouverte en définissant en tout point de , un vecteur unitaire orthogonal à dont le sens est lié au sens de parcours choisi sur le contour fermé .

    Lorsque ce sens de parcours sur est choisi, le sens de est donné par le sens de progression du tire-bouchon de Maxwell tournant dans le sens de parcours choisi sur .

  • Si on définit autour du point une surface élémentaire , le vecteur surface élémentaire s'écrit

Symétries

Quand les effets d'une distribution sont représentés par un vecteur vrai, ce vecteur est contenu dans les plans de symétrie positive de la distribution et perpendiculaire aux plans de symétrie négative.

Quand les effets d'une distribution sont représentés par un pseudo-vecteur, ce dernier est contenu dans les plans de symétrie négative de la distribution et perpendiculaire aux plans de symétrie positive.