Démonstration

Considérons deux vecteurs et et un champ uniforme de vecteurs unitaires .

On peut écrire : et généraliser pour vecteurs,

ce qui donne :

Si le nombre de vecteurs devient infini, la somme est alors remplacée par une intégrale soit, pour le cas qui nous concerne, en posant et  :

Comme on a alors

ce qui donne : soit .

Produit mixte

Étant donné trois vecteurs , et , leur produit mixte est un scalaire tel que . Ce produit est invariant si on effectue une permutation circulaire sur les trois vecteurs. Ainsi :

représente le volume du parallélépipède construit sur , et . En effet, en posant , on a :

Appliquée au champ magnétique la permutation donne :

car

Rotationnel
  • On appelle rotationnel au point du champ vectoriel , le vecteur que l'on note défini par la formule de Stokes :

    étant un point du contour fermé orienté et un point de la surface ouverte s'appuyant sur .

  • La circulation du champ vectoriel le long d'un contour fermé quelconque est égale au flux du champ vectoriel à travers toute surface ouverte s'appuyant sur .

  • L'opérateur rotationnel fait passer d'un champ vectoriel à un autre champ vectoriel ; il peut donner des informations sur le caractère "tourbillonnaire" de .

  • Expressions du rotationnel de dans différents systèmes de repérage

    • Repérage cartésien :

    • Repérage cylindrique :

    • Repérage sphérique :

Vecteur surface
  • Soit le champs de vecteurs est un champ de scalaire quelconque et un champ vectoriel uniforme quelconque.

    La formule d'Ostrogradski appliquée au champ s'écrit :

    Puisque est un champ uniforme le premier membre donne :

    Pour le second membre, la divergence s'écrit :

    car

  • Ainsi :

    étant un champ uniforme quelconque, on obtient la relation :

    appelée formule du gradient.

    Si f = 1, la formule du gradient donne : .

  • Considérons deux surfaces quelconques et s'appuyant sur un contour fermé .

    Le sens de parcours arbitrairement choisi sur détermine l'orientation de et .

L'ensemble ( ) constitue une surface fermée ; ainsi, l'orientation de est changée, la normale à la surface fermée ( ) étant orientée vers l'extérieur.

La formule du gradient donne donc :

Ainsi, le pseudo-vecteur associé à une surface (ouverte) s'appuyant sur un contour fermé est indépendant de la surface choisie et s'écrit donc :