Explication : Stratégie de résolution

Avant d'entamer la résolution de cet exercice, nous donnons quelques indications sur le choix d'un système de repérage dans lequel :

  • nous faisons l'analyse préliminaire (symétries et invariances),

  • nous concluons sur l'utilisation du théorème d'Ampère,

  • nous mettons en oeuvre la loi de Biot et Savart

- en décomposant les vecteurs et dans une base orthonormale directe,

- ou en faisant un calcul direct si on a noté leur orthogonalité.

Complément : Choix du repère

La distribution de courant, notée , demeure inchangée par toute rotation autour de l'axe de la spire. Cette propriété conduit à utiliser un système de repérage cylindrique classique dont les coordonnées sont notées , et .

Analyse préliminaire

Exploitation des symétries  :

  • Considérons un plan qui contient l'axe de la spire, on peut alors le représenter comme suit :

On constate que ce plan est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant.

Le pseudo-vecteur (ou vecteur axial) est contenu dans le plan d'antisymétrie de la distribution de courant.

Pour tous les points de ce plan, le champ magnétostatique est ainsi contenu dans le plan lui-même ; c'est en particulier vrai pour les points de l'axe.

  • Comme ce raisonnement est valable pour tous les plans qui contiennent l'axe de la spire, le champ pour les points appartenant à l'axe est contenu dans l'intersection de tous ces plans, c'est-à-dire sur l'axe lui-même.

    Ainsi, on peut conclure de l'étude des symétries du problème que, pour les points de l'axe de la spire, le champ magnétostatique est porté par l'axe.

Exploitation des invariances :

  • Dans ce système, nous n'avons pas à considérer les déplacements qui affectent et puisque les points d'observation sont nécessairement sur l'axe dans le cadre de l'énoncé : .

  • Le point d'observation étant sur l'axe, il est simplement repéré par la coordonnée . Le champ créé par la distribution en un point de son axe dépend de puisque le système est modifié lors d'une translation de le long de l'axe .

    Donc on peut écrire : .

En conclusion de l'étude préliminaire, nous pouvons dire que le champ magnétostatique en un point de l'axe est porté par ce dernier et ne dépend que de , il peut donc s'exprimer sous la forme suivante : .

Complément : Peut-on utiliser le théorème d'Ampère pour le calcul de B ?

Le théorème d'Ampère conduit à calculer la circulation du champ sur un contour fermé. Les conditions qui amènent un calcul simple sont alors les suivantes :

  • norme de constante sur le contour,

  • direction de particulière par rapport au contour (normale ou tangentielle).

On cherche alors le contour qui satisfait au mieux ces conditions. Dans le notre cas, nous sommes assujettis au calcul du champ sur l'axe le long duquel est effectivement tangentiel mais varie avec .

Le calcul de la circulation ne peut alors pas se simplifier suffisamment pour conduire à un résultat simple et le théorème d'Ampère n'est pas un choix judicieux.

Approfondissement :

Il est à noter que le choix d'un contour s'appuyant sur l'axe de la spire conduit à refermer ce contour à l'infini (où le champ magnétostatique, décroissant avec la distance, est nul).

La circulation sur le contour global est alors la somme de deux termes dont l'un est nul (champ nul à l'infini) :

Il ne reste que :

Calcul de B à partir de la loi de Biot et Savart

En explicitant les calculs dans une base orthonormale directe :

  • On peut décomposer les vecteurs dans un système de repérage cylindrique lié au point :

Remarque

Il faut faire attention à ne pas intégrer dans ce repère puisque les deux premières composantes et sont mobiles avec . Néanmoins, on sait par l'étude des symétries que le champ est porté par qui, lui, est indépendant de . Comme c'est la seule composante qui nous intéresse, on pourra alors l'intégrer sans difficulté.

Nous pouvons expliciter les points et vecteurs dans :

et d'où et

soit

  • L'étude des symétries a montré que le champ magnétostatique sur l'axe de la spire est porté par l'axe seulement ; on peut ainsi écrire qui devient d'après l'expression précédente :

    En introduisant l'angle , et en remarquant que ,

    on a :

En exploitant les propriétés géométriques :

  • Un élément de courant crée en un champ magnétostatique élémentaire :

    Il a pour norme puisque les deux vecteurs et sont orthogonaux par construction.

  • L'étude des symétries a montré que le champ magnétostatique sur l'axe de la spire est porté par l'axe seulement, on peut ainsi écrire .

Remarque

Cela signifie que si l'on superpose les contributions de deux éléments de la distribution de courant qui sont symétriques par rapport à l'axe, seuls les termes selon ne se détruisent pas.

En introduisant l'angle , et en remarquant que est orthogonal à ( proportionnel à ), on peut expliciter :

puisque est constant quand décrit la spire.

Comme , on a

Cette dernière expression est la plus concise mais elle présente l'inconvénient de ne pas faire apparaître explicitement.

On peut remarquer que :

, soit

d'où