Vecteur surface
  • Soit le champs de vecteurs est un champ de scalaire quelconque et un champ vectoriel uniforme quelconque.

    La formule d'Ostrogradski appliquée au champ s'écrit :

    Puisque est un champ uniforme le premier membre donne :

    Pour le second membre, la divergence s'écrit :

    car

  • Ainsi :

    étant un champ uniforme quelconque, on obtient la relation :

    appelée formule du gradient.

    Si f = 1, la formule du gradient donne : .

  • Considérons deux surfaces quelconques et s'appuyant sur un contour fermé .

    Le sens de parcours arbitrairement choisi sur détermine l'orientation de et .

L'ensemble ( ) constitue une surface fermée ; ainsi, l'orientation de est changée, la normale à la surface fermée ( ) étant orientée vers l'extérieur.

La formule du gradient donne donc :

Ainsi, le pseudo-vecteur associé à une surface (ouverte) s'appuyant sur un contour fermé est indépendant de la surface choisie et s'écrit donc :