1. On suppose le repère ( ) galiléen, l'axe Oy est vertical vers le haut, les conditions initiales étant :

    - mobile à l'origine du repère,

    - vitesse

    Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

    Sur la base cartésienne :

    On intègre deux fois compte tenu des conditions initiales :

    L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant :

    C'est l'équation d'une parabole.

    AN.

  2. Sommet de la trajectoire : on peut l'obtenir soit en recherchant le point de la trajectoire où la tangente est horizontale, soit en déterminant dans l'expression de la vitesse, l'instant où la composante verticale de la vitesse s'annule. Nous utilisons la première solution :

    AN.

    En reportant dans l'équation paramétrique en , on obtient :

    Portée du tir, coordonnées du point : Il suffit dans l'équation de la trajectoire de faire .

    En reportant dans l'équation paramétrique en :

    On remarque naturellement que .

    Vitesse en S : et

    En norme :

    Vitesse en B :

    En norme :

    On observe qu'en la vitesse est horizontale et qu'en elle a même norme qu'en .

  3. Recherche de la parabole de sûreté :

    La norme de la vitesse initiale est fixée, seule la direction du vecteur vitesse (a) varie. Pour que la trajectoire passe par un point donné, il faut une valeur de telle que :

    Les solutions de cette équation du second degré en a seront réelles seulement si le discriminant est positif :

    L'équation donnant en fonction de est l'équation d'une parabole appelée "parabole de sureté". Tout tir dont la norme de la vitesse initiale est restera à l'intérieur de cette parabole.