1. Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point A fixe dans ce référentiel, est égale au moment résultant par rapport au même point A des forces appliquées au point matériel.

    Or,

    Par suite du produit vectoriel,

    donc est un vecteur constant perpendiculaire au plan défini par et ,donc le plan de la trajectoire est constant : la trajectoire est plane.

  2. Par définition,

    d'où

  3. La relation existant entre , s'obtient en effectuant une dérivation composée

  4. Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces appliquées à un point matériel est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement.

    d'où . Or, on a vu que

    ce qui donne .

    En intégrant

    est un vecteur constant d'intégration.

    La composante selon du vecteur vitesse est égale par définition à :

  5. Cette composante est aussi égale à

    de la même manière

    étant constant, on choisit pour le déterminer un point où on connait : en , est selon et est égal à ;

    par suite,

    est aussi selon et sa norme est constante.

    On a vu que

Au point :

On déduit que

:l'excentricité de l'ellipse car

La grandeur est une intégrale première du mouvement, c'est l'intégrale de Laplace :