La condition d'absence de frottement entre la tige et le point M impose que le travail de la réaction au cours du déplacement relatif (M sur tige) soit identiquement nul :

d'où la nouvelle expression de (3) qui permet d'exprimer la force :

La tige est en rotation libre, donc il ne s'exerce sur elle aucun couple et la composante de la réaction selon est nulle :

. Alors, la nouvelle forme de la relation (4) exprime la loi des aires :

Le mouvement de la masse selon permet d'exprimer

La relation (3') permet ainsi d'obtenir l'expression de la force :

En utilisant , et sachant que la force exercée sur m est de la forme , on détermine le potentiel (à une constante près) :

L'énergie cinétique de m s'exprime :

En utilisant la relation des aires :

, on obtient :

La variation d'énergie cinétique est égale au travail élémentaire de la force sur un déplacement , soit :

Par définition :

. La variation d'énergie cinétique est donc :

L'énergie totale est donc constante.

Ce système présente l'énergie et le moment cinétique comme une constante du mouvement. Les trajectoires ne constituent pas des formes mathématiques simples.