Equation de conjugaison

Durée : 8 mn

Note maximale : 6

Question

La position de l'image \(A'\) d'un objet \(A\) par un dioptre sphérique de sommet \(S\), de centre \(C\), est donnée par :

  1. Préciser le signification de chacun des termes \(n, n',\overline{SA} ,\overline{SA'} ,\overline{SC}\) et la convention d'orientation du système sur un schéma clair.

  2. Déduire de cette formule en indiquant clairement le raisonnement, une relation applicable aux lentilles minces dans l'air :

    \(\frac1{f'}=(n-1)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\) en précisant la signification de chaque terme

    \(f ', n, R_1, R_2\).

Solution

1. Le dioptre sphérique sépare le milieu incident d'indice \(n\) du milieu d'émergence d'indice \(n'\). L'objet \(A\), est à une distance algébrique \(\overline{SA}\) realtive au sommet \(S\) du dioptre de rayon de courbure \(\overline{SC}\). Il lui correspond une image \(A'\), qui peut être réelle ou virtuelle de coordonnée \(\overline{SA'}\). (1 pt)

Si \(I\) est très proche de \(S\) : \(\frac n{\overline{SA}}-\frac{n'}{\overline{SA'}}=\frac{(n-n')}{\overline{SC}}\)

(1 pt pour la figure)

2. Une lentille mince est un ensemble de 2 dioptres sphériques dont les sommets \(S_1\) et \(S_2\) sont très proches \(|S_1S_2|<<\inf(|R_1|,|R_2|)\). Si \(S\) est le milieu de \(S_1S_2\), les rayons \(R_1\), \(R_2\) peuvent s'écrire : \(R_1=\overline{S_1C_1}\#\overline{SC_1}\) et \(R_2=\overline{S_2C_2}\#\overline{SC_2}\) (1 pt). On désigne par n l'indice du verre par rapport à l'air.

Le premier dioptre donne une image \(A_1\) de \(A\) telle que :

\(\frac n{\overline{SA}}-\frac{n'}{\overline{SA_1}}=(n-n')\cdot\frac1{\overline{SC_1}}\) avec \(n=1\) et \(n'=n\) \(\frac1{\overline{SA}}-\frac n{\overline{SA_1}}=(1-n)\cdot\frac1{R_1}\) (0,5 pt)

Le deuxième dioptre donne de l'objet virtuel \(A_1\), l'image \(A'\) (réelle ou virtuelle) telle que :

\(\frac{n'}{\overline{SA_1}}-\frac{n''}{\overline{SA'}}=(n'-n'')\cdot\frac1{\overline{SC_2}}\) avec \(n''=1\) et \(n'=n\) \(\frac n{\overline{SA_1}}-\frac1{\overline{SA'}}=(n-1)\cdot\frac1{R_2}\) (0,5 pt)

Par addition :

\(\frac1{\overline{SA}}-\frac1{\overline{SA'}}=(n-1)\cdot\left(\frac1{R_2}-\frac1{R_1}\right)\) (1 pt)

Si \(A\) est placé à l'infini \(SA'\) devient la distance focale image \(f '\) : \(\overline{SA'}=f'\quad\overline{SA}\rightarrow\infty\quad\frac1{\overline{SA}}\rightarrow0\)

et la relation précédente donne : \(\frac1{f'}=(n-1)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\) CQFD (1 pt)