Dimension d'une grandeur
Partie
Question
Déterminer la dimension d'une densité superficielle de charge \(\sigma\) .
Aide simple
Définir la relation de la densité superficielle de charge.
Aide détaillée
Par définition : \(\sigma = \frac{Q}{S}\) ( ou \(\frac{\textrm{d}Q}{\textrm{d}S}\)) avec la charge \(Q\) ( resp. \(\textrm{d}Q\) )sur une surface \(S\) ( resp. \(\textrm{d}S\) ).
Solution simple
\(\textrm{dim } \sigma = \frac{\textrm{dim }Q}{\textrm{dim }S} = L^{-2}TI\)
Solution détaillée
Sachant que : \(\textrm{charge} = \textrm{intensit\'e} \times \textrm{temps}\)
et \(\textrm{ surface} =\textrm{ longueur} \times \textrm{longueur}\)
Nous en déduisons :
\(\textrm{dim }Q = T I\) et \(\textrm{dim }S = L^2\)
d'où : \(\textrm{dim } \sigma = \frac{\textrm{dim }Q}{\textrm{dim }S} = \frac{TI}{L^{2}} = L^{-2}TI\)
Question
En déduire la dimension de la permittivité du vide \(\varepsilon_0\) sachant que pour un conducteur de charge superficielle \(\sigma\) la pression électrostatique est définie par :
\(p = \frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}}\)
Aide simple
Connaissant la dimension de \(\sigma\), il reste à exprimer la dimension d'une pression.
Aide détaillée
Définir la \(\textrm{dim }( \textrm{pression} )\) en fonction de : \(\textrm{dim } ( \textrm{force} ) = MLT^{-2}\) et \(\textrm{dim }(\textrm{ surface} ) = L^2\)
Solution simple
Par définition :\(\textrm{dim } \varepsilon_{0} = \frac{(\textrm{dim } \sigma)^{2}}{\textrm{dim } p} = \frac{(L^{-2}TI)^{2}}{ML^{-1} T^{-2}} = L^{-3}M^{-1}T^{4}I^{2}\)
Solution détaillée
Exprimons la permittivité du vide :
\(p = \frac{\sigma^{2}}{2 \varepsilon_{0}} \Leftrightarrow \varepsilon_{0} = \frac{\sigma^{2}}{2p}\) sachant que \(\textrm{dim }p = \frac{\textrm{dim }F}{\textrm{dim }S} = \frac{M L T^{-2}}{L^{2}} = L^{-1}MT^{-2}\) puis
\(\textrm{dim }\sigma = L^{-2}T I\) nous en déduisons :
\(\textrm{dim }\varepsilon_{0} = \frac{(\textrm{dim }\sigma)^{2}}{\textrm{dim }p} = \frac{(L^{-2}TI)^{2}}{ML^{-1}T^{-2}} = L^{-3}M^{-1}T^{4}I^{2}\)