Analyse dimensionnelle
Partie
Question
Soit un projectile, de masse \(m\), tiré avec une vitesse initiale \(\vec {v_0}\), sous l'inclinaison \(\alpha\), par rapport à un axe horizontal tombe en un point de portée d'abscisse \(X\).
Le bon sens, laissant à penser, que cette portée \(X\), puisse dépendre des scalaires suivants :
\(m\) : masse du projectile
\(g\) : accélération de la pesanteur
\(v_0\) : vitesse initiale
\(\alpha\) : inclinaison
Quelle serait alors la forme de cette portée \(X\) ?
Compte tenu de l'énoncé prévoir la forme de \(X\).
Aide simple
La portée s'exprime, à un coefficient multiplicatif \(\textrm{k }\) près, par le produit de puissances de grandeurs.
Aide détaillée
On peut poser l'expression de la portée sous la forme :
\(X=\textrm{k }m^\alpha ~g^\beta ~v_0^\gamma ~\alpha^\delta\)
Déterminer l'équation aux dimensions en remplaçant les grandeurs par chacune de leur dimension, sachant que l'angle \(\alpha\) est sans dimension.
Solution simple
La forme de la portée \(X = \textrm{k } m^\alpha ~g^\beta ~v_0^\gamma ~\alpha^\delta\) permet d'obtenir l'équation aux dimensions :
\(\lbrack L\rbrack = M^\alpha L^{\beta + \gamma} T^{ - 2\beta − \gamma}\)
et par identification : \(\alpha = 0\) ; \(\beta = -1\) et \(\gamma = 2\)
d'où
\(X=\textrm{k } v_0^2 /g\)
Solution détaillée
Posons par hypothèse que la portée soit une fonction de la forme \(X = \textrm{k } m^\alpha ~g^\beta ~v_0^\gamma ~\alpha^\delta\) (\(\textrm{k }\) constante)
L'angle \(\alpha\) étant sans dimension nous avons l'équation aux dimensions :
\([X] = [m]^\alpha [g]^\beta [v_0]^\gamma\)
d'où
\(L = M^\alpha (LT^{-2})^\beta (LT^{-1})^\gamma\)
\([L] = M^\alpha L^\beta T^{ −2\beta} L^\gamma T^{ -\gamma} = M^\alpha L^{\beta + \gamma} T^{ −2\beta − \gamma}\)
Par identification :
\(\alpha=0\) ; \(\beta + \gamma = 1\) ; \(-2\beta - \gamma = 0\) soit \(\alpha = 0\) ; \(\beta = -1\) et \(\gamma = 2\)
Nous obtenons donc pour la portée une fonction de la forme :
\(X = \textrm{k } v_0^2 / g\)
L'angle \(\alpha\) n'intervenant pas dans cette expression cette relation n'est physiquement pas acceptable.
Question
L'expression obtenue de la portée indépendante de l'inclinaison \(\alpha\), ne peut être satisfaisante. Une analyse plus fine nous amène à remplacer les grandeurs \(v_0\) et \(\alpha\) par les composantes \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\) et de ce fait différencier les dimensions de la longueur \(L\) par \(L_x\) et \(L_y\).
Montrer que l'expression de la portée \(X\) dépend de l'inclinaison \(\alpha\).
Redéfinir la forme de la portée en introduisant \(v_{0x}\) et \(v_{0y}\) .
Aide simple
Chercher \(X\) comme produit des puissances de grandeurs.
Aide détaillée
Poser la forme \(X\) : \(X = \textrm{k } m^\alpha g^\beta v_{0x}^\gamma v_{0y}^\delta\)
Tenir compte dans l'équation aux dimensions des grandeurs de directions \(Ox\) et \(Oy\).
Solution simple
La forme de la portée \(X = \textrm{k } m^\alpha g^\beta v_{0x}^\gamma v_{0y}^\delta\) conduit à l'équation aux dimensions :
\(L_x = M^\alpha L_x^\gamma L_y^{\beta + \delta} T^{ - 2\beta − \gamma - \delta}\)
qui par identification conduit à
\(X = \textrm{k } v_0^2 \sin \alpha~ \cos\alpha / g\)
où \(\textrm{k }\) est une constante
Solution détaillée
Nous admettrons que la portée s'exprime sous la forme \(X = \textrm{k } m^\alpha g^\beta v_{0x}^\gamma v_{0y}^\delta\)
L'équation aux dimensions conduit à :
\([X] = [m]^\alpha [g]^\beta [v_{0x}]^\gamma [v_{0y}]^\delta\) , d'où :
\(L_x = M^\alpha (L_yT^{ - 2})^\beta (L_xT^{ −1})^\gamma (L_yT^{−1})^\gamma\)
\(L_x = M^\alpha L_y^\beta T^{ - 2\beta} L_x^\gamma T^{ − \gamma} L_y^\delta T^{-\delta}\)
\(L_x = M^\alpha L_x^\gamma L_y^{\beta + \delta} T ^{- 2\beta − \gamma - \delta}\)
par identification
\(\alpha = 0\) ; \(\gamma = 1\) ; \(\beta + \delta = 0\) ; \(-2\beta - \gamma - \delta = 0\)
donc \(\alpha = 0\) ; \(\beta = -1\) ; \(\gamma = 1\) ; \(\delta = +1\)
L'expression de la portée \(X\) est donc de la forme :
\(X = \textrm{k } g^{-1} v_{0x} v_{0y} = \textrm{k } v_0 \cos\alpha v_0 \sin\alpha / g\)
\(X = \textrm{k } v_0^2 \sin2 \alpha / 2g\)
où \(\textrm{k }\) est une constante
Question
L'angle d'inclinaison étant choisi pour obtenir une portée maximale, déterminer l'expression littérale de \(X\), si le projectile animé d'une vitesse, de module \(v_0=15 \textrm{ m.s}^{-1}\), atteint l'axe horizontal au point d'abscisse \(X_0 = 23 \textrm{ m}~?\) (on prendra\( g = 9,81 \textrm{ m.s}^{-2}\))
Aide simple
Déterminer l'angle d'inclinaison \(\alpha\).
Aide détaillée
Calculer la constante \(\textrm{k }\) dans l'expression de la portée \(X = \textrm{k } v_0^2 \sin2 \alpha / 2g.\)
Solution simple
La valeur \(\alpha = 45°\) qui rend \(\sin2\alpha\) maximum conduit après application numérique à \(\textrm{k} = 2\).
Solution détaillée
La portée étant fonction de \(\sin2\alpha\), le choix de \(\alpha = 45°\) conduit à \(\sin2\alpha = 1\) et \(X = \textrm{k } v_0^2 / 2g\) , d'où
\(\textrm{k} = (2gX) / v_0^2\)
Application numérique :
\(\textrm{k} = (2 × 9,81 × 23) / (15)^2 \sim 2\)
La portée a donc pour expression :
\(X = v_0^2 \sin2\alpha / g\)