Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique

Soit une fonction \(f\) définie sur \(D_{f} \in \mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

• La fonction \(f\) est périodique, de période \(T\) ( ou \(T-\textrm{ p\'eriodique}\)) si :

  \(\forall x \in D_{f} ~f(x + T) = f (x)\)

  Son graphe est invariant par des translations de vecteurs \(kT\vec{i}\) ( \(k \in Z\); \(\vec{i}\) vecteur unitaire sur l'axe des abscisses).

• La fonction \(f\) est paire, si :

  \(\forall x \in D_{f} \quad(-x) \in D_{f} \textrm{ et }f (-x) = f (x)\)

  Son graphe admet l'axe \(Oy\) comme axe de symétrie.

  Plus généralement : si

  \(\forall x' \in D_{f}, \forall x'' \in D_{f} : x' + x'' = a  \Rightarrow f (x') = f (x'')\) alors le graphe admet la droite d'équation \(x = a/2\) pour axe de symétrie.

\(\left\{\begin{array}{lll} x'+x'' = a \\ f(x') = f(x'') \end{array}\right.\)

L'axe \(x=a/2\) est axe de symétrie

\(\left\{\begin{array}{ccc} x'+x'' = 0 &\Rightarrow &x' = -x''\\ f(x') = f(x'') &\Rightarrow & f(x') = f(x'') = f(-x') \end{array}\right.\)

Fonction paire

L'axe \(Oy\) est axe de symétrie

• La fonction \(f\) est impaire, si

  \(\forall x \in D_{f} \quad(-x) \in D_{f} \textrm{ et } f (-x) = - f (x)\)

  Son graphe admet l'origine des coordonnées comme centre de symétrie.

  Plus généralement : si

  \(∀x' \in D_{f}, ∀x'' \in D_{f} : x' + x'' = a  \Rightarrow f (x') + f (x'') = b\) alors le graphe admet le point de coordonnées \((a/2 ; b/2)\) pour centre de symétrie.

\(\left\{\begin{array}{lll} x'+x'' = a \\ f(x') + f(x'') = b \end{array}\right.\)

L'axe \(I(a/2, b/2)\) est axe de symétrie

\(\left\{\begin{array}{ccc} x'+x'' = 0 &\Rightarrow & x' = -x''\\ f(x') + f(x'') = 0&\Rightarrow& f(x') = - f(x'') =- f(-x') \end{array}\right.\)

Fonction impaire

L'origine des axes de coordonnées est centre de symétrie

• Le domaine d'étude \((D_{e})\) d'une fonction sera réduit suivant les particularités que peut présenter cette fonction. La périodicité permet d'étudier \(f\) sur un intervalle de longueur \(T\) par exemple \([ 0; T]\) ou \([ -T/2 ; T/2]\). Les symétries réduisent de moitié cet intervalle

La fonction sinus, notée \(\sin\), est :

• définie sur \(\mathbb{R}\)

• \(2\pi\) - périodique : \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\)

• impaire : \(\sin(-x) = - \sin x\)

Le domaine d'étude se réduit à \(D_{e} = [0 , \pi/2]\)

car le graphe de la fonction sinus, admet un axe de symétrie d'équation \(x = \pi/2\).

(En effet : \(x' + x'' = \pi  \Rightarrow \sin (x') = \sin (\pi - x'') = \sin(x'')\) )

La fonction dérivée \(\sin' x = \cos x\) étant positive sur \(D_{e}\), la fonction \(\sin x\) est croissante.

Représentation graphique de sinus

La fonction cosinus, notée \(\cos\), est :

• définie sur \(\mathbb{R}\)

• \(2\pi\) - périodique : \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\)

• paire : \(\cos(-x) =\cos x\)

Le domaine d'étude se réduit à \(D_{e} = [0 , \pi/2]\)

car le graphe de la fonction cosinus, admet un centre de symétrie de coordonnées \((\pi/2,0)\).

(En effet : \(x' + x'' = \pi  \Rightarrow \cos (x') = \cos (\pi - x'') = -\cos(x'') \textrm{ et } \cos(x') + \cos(x'') = 0\) )

La fonction dérivée \(\cos' x = -\sin x\) étant négative sur \(D_{e}\), la fonction \(\cos x\) est décroissante.

Représentation graphique de cos

La fonction tangente, notée \(\tan,\) est :

• définie sur \(\mathbb{R} -\{\pi/2 + k\pi\} (k \in \mathbb{Z}) \textrm{ par } \tan x = \sin x/\cos x.\)

• \(\pi\) - périodique : \(\tan(x + \pi) = \tan x\)

• impaire : \(\tan(-x) =-\tan x\)

Le domaine d'étude se réduit à \(D_{e} = [0 , \pi/2[\)

La fonction dérivée \(\tan' x = 1+\tan^{2}x = 1/\cos^{2}x\) étant négative sur \(D_{e}\), la fonction \(\tan x\) est croissante.

Représentation graphique de tangente

La fonction cotangente, notée \(\textrm{cotan}\), est :

• définie sur \(\mathbb{R} -\{\ k\pi\} (k \in \mathbb{Z}) \textrm{ par } \textrm{cotan } x = 1/\tan x = \cos x/ \sin x\)

• \(\pi\) - périodique : \(\textrm{cotan}(x + \pi) = \textrm{cotan }x\)

• impaire : \(\textrm{cotan }(-x) =-\textrm{ cotan }x\)

Le domaine d'étude se réduit à \(D_{e} = ]0 , \pi/2]\)

La fonction dérivée \(\textrm{cotan}' x = -(1+\tan^{2}x) = -1/\sin^{2}x\) étant négative sur \(D_{e}\), la fonction \(\textrm{cotan }x\) est décroissante.

Représentation graphique de cotangente

\(\forall (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^{2}\)

\(\sin \alpha = \sin \beta \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} \alpha = \beta &[2\pi]\\ \alpha = \pi-\beta &[2\pi]\end{array}\right.\)

\(\forall (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^{2}\)

\(\cos \alpha = \cos \beta \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} \alpha = \beta &[2\pi]\\ \alpha = -\beta &[2\pi]\end{array}\right.\)

\(\forall (\alpha, \beta)\in \left(\mathbb{R} - \left(\frac{\pi}{2} + k \pi\right)\right)^{2} k\in\mathbb{Z}\)

\(\tan \alpha = \tan \beta \Leftrightarrow \alpha = \beta \qquad [\pi]\)

\(\forall (\alpha, \beta)\in \left(\mathbb{R} - k \pi\right)^{2} k\in\mathbb{Z}\)

\(\textrm{cotan }\alpha = \textrm{cotan }\beta \Leftrightarrow \alpha = \beta \qquad [\pi]\)