Intégration par décomposition
Partie
Question
Calculer l'intégrale : \(I_1=\int_1^2(4t^2-6\sqrt t+\frac 1t-\frac2{t^2})dt\)
Aide simple
Cette intégrale est la somme d'intégrales de la forme
\(\int_1^2kt^ndt\) avec \(n\in\mathbb Q\) et \(k\) : constante
Aide détaillée
Pour \(n\neq-1\) \(\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C_1\)
Pour \(n = -1\) \(\int\frac{1}{t}dt=\ln|t|+C_2\)
Solution simple
Après intégration, nous obtenons : \(I_1=\frac{37}{3}-8\sqrt2+\ln2\)
Solution détaillée
transformons cette intégrale en somme d'intégrales :
\(I_1=\int_1^24t^2dt-\int_1^26t^{\frac{1}{2}}dt+\int_1^2t^{-1}dt-\int_1^22t^{-2}dt\)
\(=[\frac{4t^3}3]_1^2-[\frac{6t^{\frac32}}{\frac{31}2}]_1^2+[\ln1h]_1^2+[2t^{-1}]_1^2\\=4\times\frac83-\frac43-(4.2^{\frac{3}{2}}-4)+\ln 2 + \frac22-2\\=\frac{37}3-4.2^{\frac32}+\ln2\)
\(\boxed{I_1=\frac{37}{3}-8\sqrt2+\ln2}\)
Question
Déterminer les primitives : \(I_2=\int\frac{(x^2-1)(x+2)}{\sqrt[3]{x^2}}dx\)
Aide simple
Effectuer produit et quotient avant d'intégrer
Aide détaillée
Après transformation nous avons :
\(I_2=\int(x^{\frac73}+2x^{\frac43}-x^{\frac13}-2x^{-\frac23})dx\)
Solution simple
Résultat de l'intégration :
\(\boxed{I_2=\frac3{10}x^{\frac{10}3}+\frac67x^{\frac73}-\frac34x^{\frac43}-6x^{\frac13}+C}\)
Solution détaillée
Simplifions l'expression :
\(\frac{(x^2-1)(x+2)}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^{\frac23}}=x^{3-\frac23}+2x^{2-\frac23}-x^{1-\frac23}-2x^{-\frac23}\)
\(=x^{\frac73}+2x^{\frac43}-x^{\frac13}-2x^{-\frac23}\)
d'ou :
\(I_2=\int(x^{\frac73}+2x^{\frac43}-x^{\frac13}-2x^{-\frac23})dx\)
\(I_2=\frac{x^{\frac73+1}}{\frac73+1}+2\frac{x^{\frac43+1}}{\frac43+1}-\frac{x^{\frac13+1}}{\frac13+1}-2\frac{x^{-\frac23+1}}{-\frac23+1}+C\)
\(I_2=\frac{x^{\frac{10}3}}{\frac{10}3}+2\frac{x^{\frac73}}{\frac73} -\frac{x^{\frac43}}{\frac43}-\frac{2x^{\frac13}}{\frac13}+C\)
\(\boxed{I_2=\frac3{10}x^{\frac{10}3}+\frac67x^{\frac73}-\frac34x^{\frac43}-6x^{\frac13}+C}\)
Question
Calculer l'intégrale : \(I_3=\int_{\frac{\pi}2}^{\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta\)
Aide simple
Effectuer le développement de :\((1+\cos\theta)^2\) avant d'intégrer
Aide détaillée
Linéariser la fonction \(\cos^2\theta\)obtenue par le développement de \((1+\cos\theta)^2\)
Solution simple
L'intégration conduit au résultat suivant :
\(I_3=\int_{\frac{\pi}2}^{\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=[\frac32\theta+2\sin\theta+\frac14\sin2\theta]_{\frac{\pi}2}^{\pi}=\boxed{\frac{3\pi}4-2}\)
Solution détaillée
Sachant que \(\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2,\) nous avons pour le développement du carré :
\((1+\cos\theta)^2=1+2\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\cos\theta+\frac{1+\cos2\theta}{2}\)
d'ou :
\(I_3+\int_{\frac{\pi}2}^{\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\int_{\frac{\pi}2}^{\pi}(\frac32+2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}2)d\theta\\I_3=[\frac32\theta+2\sin\theta+\frac{\sin2\theta}4]_{\frac{\pi}2}^{\pi}\\I_3=(\frac{3\pi}2+2\sin\pi+\frac{\sin2\pi}4)-(\frac32\frac{\pi}2+2\sin\frac{\pi}2+\frac{\sin\pi}4)\\I_3=\frac{3\pi}2-\frac{3\pi}4-2\\\boxed{I_3=\frac{3\pi}4-2}\)
Question
Déterminer les primitives : \(I_4=\int\tanh^2xdx\)
Aide simple
une méthode consiste à faire apparaître la fonction dérivée de \(\tanh x .\)
Une seconde méthode utilise les fonctions hyperboliques directes \(\sinh x\) et \(\cosh x.\)
Aide détaillée
Fonction dérivée \((\tanh x)'=1-\tanh^2x=\frac1{\cosh^2x}\)
Relation de trigonométrie hyperbolique : \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)
Solution simple
Après intégration nous trouvons : \(\boxed{I_4=x-\tanh x+C}\)
Solution détaillée
1ere méthode : Ajoutons et retranchons l'unité .
\(I_4=\int\tanh^2xdx=\int(1-1+\tanh^2x)dx\\=\int[1-(1-\tanh^2x)]dx=\int dx-\int(1-\tanh^2x)dx\)
\(\boxed{I_4=x-\tanh x+C}\)
2éme méthode : Utilisation de \(\cosh^2x-1=\sinh^2x\)
\(I_4=\int\tanh^2xdx=\int\frac{\sinh^2x}{\cosh^2x}dx=\int\frac{\cosh^2x-1}{\cosh^2x}dx\\=\int(1-\frac{1}{\cosh^2x})dx=\int dx-\int\frac{dx}{\cosh^2x}\)
\(\boxed{I_4=x-\tanh x+C}\)