Calcul matriciel

Pour \(n = 2\) :

Soit la matrice d'ordre 2 : \(A_{2} = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\).

Si on effectue un développement suivant la 1ère ligne, nous avons :

\(\begin{array}{r c l}|A_{2}| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| & = & a_{11} \Delta_{11} + a_{12} \Delta_{12} \\ & = & a_{11} (-1)^{1+1} |M_{11}| + a_{12} (-1)^{1+2} |M_{12}| \end{array}\).

Ainsi, \(\color{red} |A_{2}| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\).

Illustration du calcul de \(|A_{2}|\)

Cas particulier : Matrices diagonale et triangulaire

Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale.

\(\color{red}|D_{2}| \color{black}= \left| \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d\end{matrix} \right| = \color{red} ad\)

\(\color{red} |T_{2}| \color{black}= \left| \begin{matrix}a & 0 \\ c & d\end{matrix} \right| = \color{red} ad\)

\(\color{red} |T_{2}'| \color{black}= \left| \begin{matrix}a & b \\ 0 & d\end{matrix} \right| = \color{red} ad\)

Exemple

Calcul de \(A_{2} = \left| \begin{matrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right|\)

\(A_{2} = \left| \begin{matrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right|\)

\(\color{blue}|A_{2}| \color{black}= (-1)(4) - (2)(-3) = -4 + 6 = \color{blue} + 2\)

Pour \(n = 3\) :

Soit la matrice d'ordre 3 : \(A_{3} = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)

Un développement suivant la 2ème colonne, par exemple, conduit à :

\(\begin{array}{r c l}|A_{3}| & = & a_{12} \Delta_{12} + a_{22} \Delta_{22} + a_{32} \Delta_{32} \\ \\ & = & a_{12} (-1)^{1+2} |M_{12}| + a_{22} (-1)^{2+2} |M_{22}| + a_{32} (-1)^{3+2} |M_{32}| \\ \\ & = & -a_{12} \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| + a_{22} \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| - a_{32} \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| \\ \\ & = & -a_{12} ( a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31} ) + a_{22} ( a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31} ) - a_{32} ( a_{11}a_{23} - a_{13} a_{21}) \end{array}\)

\(\color{red} \begin{array}{r c l}|A_{3}| & = & a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} \end{array}\)

Cas particulier : Matrices diagonale et triangulaire

Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.

\(\color{red} |D_{3}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a & 0 &0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & i\end{matrix} \right| = \color{red} aei\)

\(\color{red} |T_{3}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a & b & c\\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i\end{matrix} \right| = a \left| \begin{matrix} e & f \\ 0 & i \end{matrix} \right| = \color{red} aei\)

\(\color{red} |T_{3}'| \color{black} = \left| \begin{matrix} a & 0 &0 \\ d & e & 0 \\ g & h & i\end{matrix} \right| = a \left| \begin{matrix} e & 0 \\ h & i \end{matrix} \right| = \color{red} aei\)

Exemple

Calcul de \(A_{3} = \left| \begin{matrix} 1 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 2 & -6 & -3 \end{matrix} \right|\)

Développement suivant la 2ième colonne :

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}|A_{3}| & \color{black}= & (-2)(-1)^{1+2} |M_{12}| + (5)(-1)^{2+2}|M_{22}| + (-6)(-1)^{3+2} |M_{32}| \\ \\ & = & +2 \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right| + 5 \left| \begin{matrix} 1 & 4 \\2 & -3 \end{matrix} \right| + 6 \left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right| \\ \\ & = & +2(-9+2) + 5(-3 -8) + 6(-1 -12) \\ \\ & = & 2(-7) + 5(-11) + 6(-13) = \color{blue} -147 \end{array}\)

Développement suivant la 3ième colonne :

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}|A_{3}| & \color{black}= & (+2)(-1)^{3+1} |M_{31}| + (-6)(-1)^{3+2}|M_{32}| + (-3)(-1)^{3+3} |M_{33}| \\ \\ & = & +2 \left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right| + 6 \left| \begin{matrix} 1 & 4 \\3 & -1 \end{matrix} \right| -3 \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \\ \\ & = & +2(2-20) + 6(-1 -12) -3 (5 +6) \\ \\ & = & 2(-18) + 6(-13) -3(11) = \color{blue} -147 \end{array}\)

Pour \(n \geq 4\) :

Un calcul semblable au précédent amènera des mineurs d'ordre 3. Le calcul d'un déterminant est d'autant plus long que l'ordre de la matrice \(A\) est élevé.

Les propriétés des déterminants vont nous permettre de faire apparaître le plus de zéros sur une ligne ou une colonne et ainsi réduire les calculs.

L'utilisation de déterminants dans les exercices en Sciences Physiques ne dépasseront pas l'ordre 4.

Exemple

Calcul de \(A_{4} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -3 \\ -1 & 4 & -7 & 2 \\ 0 & 3 & 5 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}\)

On choisira la ligne ou la colonne comprenant le plus de zéros pour effectuer le calcul de ce déterminant.

C'est donc suivant la 3ème ligne que nous effectuerons le développement :

\(\begin{array}{r c l}|A_{4}| & = & 3 (-1)^{3+2} |M_{32}| + 5(-1)^{3+3} |M_{33}| \\ \\ & = & -3 \left| \begin{matrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & -7 & 2 \\ -2 & 0 & 6 \end{matrix} \right| + 5 \left| \begin{matrix} 2 & 0 &-3 \\ -1 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & 6\end{matrix} \right| \\ \\ & = & -3 \Big[ (2)(-7)(6) + (1)(2)(-2) + (-1)(0)(-3) - (-3)(-7)(-2) - (1)(6)(-1) - (2)(0)(2) \Big] + 5 \Big[ (2)(4)(6) + (-1)(1)(-3) + (2)(0)(-2) - (-2)(4)(-3) - (1)(2)(2) - (-1)(0)(6)\Big] \\ \\ & = & -3 \Big[ -84 - 4 + 42 + 6\Big] + 5\Big[ 48 + 3 -24 -4\Big] \\ \\ & = & \color{blue} 235 \end{array}\)

Cas particulier :

Si le déterminant a l'ordre 2, revient simplement à faire une différence de produits en croix, un moyen mnémotechnique (dite règle de Sarrus) est utilisé pour le calcul d'un déterminant d'ordre 3.