Antirésonance : circuit bouchon

Durée : 12 mn

Note maximale : 12

Question

Trois dipôles \(D_1\) \((R = 5 \mathrm{ k} \Omega),\) \(D_2\) \((L = 20 \mathrm{ mH}),\) \(D_3\) \((C = 30 \mathrm{ nF})\) sont associés en parallèle et alimentés par un générateur délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace \(U = 20 \mathrm{ V}\).

  1. Exprimer l'intensité dans chacune des branches de la dérivation en fonction de la fréquence.

  2. En déduire l'intensité du courant débité par le générateur.

  3. Calculer cette intensité pour une fréquence de \(1 \mathrm{ kHz}\).

  4. Pour quelle fréquence l'intensité du courant débité par le générateur est-elle minimale ? A cette fréquence, calculer l'intensité du courant dans chacun des dipôles.

Solution

  1. Pour le dipôle \(D_1\), \(\displaystyle{ I_1 = \frac{U}{R} = 4 \mathrm{ mA} }\) et \(\varphi = 0\) :

    \(i_1(t) = I_1 . \sqrt{2} . \cos( \omega t )\) (1 pt)

    Pour le dipôle \(D_2\), \(\displaystyle{ I_2 = \frac{U}{L . \omega} }\) et \(\displaystyle{ \varphi = - \frac{\pi}{2} }\)

    \(\displaystyle{ i_2(t) = I_2 . \sqrt{2} . \cos \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) }\), la tension \(u(t)\) étant prise comme référence des phases (2 pts)

    Pour le dipôle \(D_3\), \(I_3 =C . \omega . U\) et \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{2} }\)

    \(\displaystyle{ i_3(t) = I_3 . \sqrt{2} . \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) }\) (2 pts)

  2. Les lois du courant continu s'appliquent aux valeurs instantanées.

    \(\begin{array}{lll} i(t) & = & i_1(t)+i_2(t)+i_3(t) \quad \textrm{(loi des noeuds) (1 pt)} \\ & = & I_1 . \sqrt{2} . \cos ( \omega t ) + \displaystyle{ I_2 . \sqrt{2} . \cos \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) } + \displaystyle{ I_3 . \sqrt{2} . \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = & I_1 . \sqrt{2} . \cos ( \omega t ) + I_2 . \sqrt{2} . \sin ( \omega t ) - I_3 . \sqrt{2} . \sin ( \omega t ) \\ & = & I_1 . \sqrt{2} . \cos ( \omega t ) + (I_2 - I_3) . \sqrt{2} . \sin ( \omega t ) \\ & = & I . \sqrt{2} . \cos ( \omega t - \varphi) \end{array}\)

    avec \(I = \sqrt{I_1^2 + (I_2 - I_3)^2}\) et \(\displaystyle{ \arctan \varphi = \frac{I_3 - I_2}{I_1} }\)

    ou, en fonction de \(R_1\) \(L_1\) \(C_1\) \(U_1\) et \(\omega\) :

    \(\displaystyle{ I = U . \sqrt{\frac{1}{R^2} + \left( \frac{1}{L . \omega} - C . \omega \right)^2} }\) et \(\displaystyle{ \tan \varphi = R . \left( C . \omega - \frac{1}{L . \omega} \right) }\) (2 pts)

  3. Pour \(F = 1\mathrm{ kHz}\) donc \(\omega = 2 . \pi . 10^3 \mathrm{ Hz}\) :

    \(\displaystyle{ I = 20 . \sqrt{ \left( \frac{1}{5.10^3} \right)^2 + \left( \frac{1}{20 . 2 . \pi} - 30 . 10^{-9} . 2 . \pi . 10^3 \right)^2} = 163 \mathrm{ mA} }\) (1 pt)

  4. \(I\) est minimale quand \(I_2 = I_3\), donc \(L . C . \omega_0^2 = 1\)

    \(\displaystyle{ F_0 = \frac{1}{2 . \pi . \sqrt{L . C} } \approx \mathrm{6,5 kHz} }\) (1 pt)

    Alors \(\displaystyle{ I = I_1 = \frac{U}{R} = 4 \mathrm{ mA} }\) (1 pt)

    \(\displaystyle{ I_2 = \frac{U}{L . \omega_0} = I_3 = C . \omega_0 . U = \mathrm{24,5 mA} }\) (1 pt)