Éléments d'un circuit

Partie

Question

Un circuit RLC est formé d'un conducteur ohmique de résistance \(R_1 = 8~\Omega\) , d'une bobine de résistance \(r = 2~\Omega\) et d'inductance \(L = \mathrm{0,1 H}\) et d'un condensateur de capacité C. La différence de potentiel aux bornes de l'ensemble du circuit quand il est en résonance est : \(u(t)=15\sqrt2~\sin(2000\pi t)\)

  1. Quelle est la valeur de \(C\) ?

  2. Quelle est la tension aux bornes de la bobine ?

  3. Quel est le déphasage de la tension par rapport au courant dans la bobine ?

Aide simple

La résistance du dipôle RLC série est la somme des résistances des éléments du dipôle.

Aide détaillée

Penser à tenir compte de la résistance de la bobine dans le calcul de l'impédance et dans celui du déphasage.

Rappel de cours

Voir la page Fréquence de résonance

Aide méthodologique

Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent.

Solution simple

\(C = 253 \textrm{ nF}\) ; \(U_B = 942,5\textrm{ V}\) ; \(\varphi~\# ~90°\)

Solution détaillée

  1. A la résonance, \(L\omega_0=\frac1{C\omega_0}\) ; on peut calculer \(C\) en utilisant la relation \(C=\frac1{L\omega^2_0}\), ce qui conduit à : \(C = 2,53.10^{-7}\mathrm F\) ( \(= \mathrm{0,253}~ \mu \mathrm F\), ou \(253~\mathrm{nF}\))

  2. L’impédance d’un circuit \(RLC\) série a pour expression : \(Z=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\frac1{C\omega}\right)^2}\) qui se réduit à \(Z = R = R_1 + r\) à la résonance. D’où \(Z = R = R_1 + r = 10~ \Omega\) . L’intensité efficace du courant dans le dipôle RLC a donc pour valeur : \(I=\frac UZ=\mathrm{1,5}~\mathrm A\). La tension aux bornes de la bobine vaut donc \(U_B = Z_B.I =\sqrt{r^2+L^2\omega^2_0} .I \# L\omega_0.I = 942,5\textrm{ V}.\)

  3. Le déphasage de la tension par rapport au courant dans la bobine est :

    \(\varphi=\mathrm{Arctg}\left(\frac{L\omega_0}r\right)=89,99° \# 90°\)