Physique
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Introduction

L'objet de cette ressource est de proposer des exercices relatifs à l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs libres amortis et décrits par le modèle de l'oscillateur harmonique amorti.

Prérequis indispensables :

  • Savoir définir un système physique oscillant.

  • Connaître le modèle de l'oscillateur harmonique amorti.

  • Savoir résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants, sans second membre.

Objectifs :

  • Savoir mettre en équation divers systèmes physiques oscillants.

  • Savoir appliquer le modèle de l'oscillateur harmonique amorti à l'étude de tels systèmes.

  • Savoir déterminer et interpréter les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, et cela pour des excitations diverses.

  • Savoir étudier l'énergie de tels systèmes.

Temps de travail prévu : 150 minutes

Dans l'étude des systèmes oscillants harmoniques libres à un degré de liberté, la grandeur physique décrivant l'évolution d'un système est une fonction du temps. Elle est notée , peut représenter une position, une intensité, une différence de potentiel, etc.

Cette grandeur satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

Dans le cas des oscillations libres amorties, l'équation différentielle s'écrit sous la forme réduite :

ou

désigne le coefficient d'amortissement et la pulsation propre de l'oscillateur (la notation est quelquefois utilisée à la place de ).

Le discriminant réduit de l'équation caractéristique associée peut être positif, nul ou négatif. La solution et le régime oscillatoire prennent les différentes formes :

Discriminant réduit

Forme de la solution

Régime

 : racines réelles

apériodique

 : racine double

critique

 : racines complexes conjuguées

avec

( pseudo-pulsation)

ou

pseudo-périodique

(sinusoïdal amorti)

Justification

Ces résultats se déduisent de la résolution de l'équation différentielle de type (cf. la ressource « Equations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre à coefficients constants ») en remarquant que l'équation « physique » est une équation de ce type, de coefficients , correspondant à

Le discriminant réduit s'écrit bien :

Les constantes ou sont déterminées en utilisant les conditions initiales du problème physique : et

  • L'énergie totale de l'oscillateur harmonique amorti décroît au cours du temps.

  • Un oscillateur harmonique amorti est caractérisé par le facteur de qualité :

    (en posant )

Dans le cas du régime pseudo-périodique la réponse de l'oscillateur est caractérisée par la pseudo-période et le décrément logarithmique

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)