En régime permanent la solution générale de l'équation différentielle (1) ou (2), EASM, est très peu différente de la solution particulière de cette même équation, soit : .

On confond habituellement les deux fonctions et l'on écrit :

Les expressions de l'amplitude et de la phase s'obtiennent à partir de la représentation en amplitude complexe de l'équation (1) ou de l'équation (2). Choisissons l'équation (1).

  • Ecrivons les correspondances :

Remarque

Les relations ci-dessus s'écrivent également en fonction des valeurs efficaces, réelles et complexes, de et de , soient respectivement :

, ,

  • Déterminons la représentation en amplitude complexe de l'équation (1).

    Pour cela, remplaçons dans cette équation les grandeurs réelles instantanées par les amplitudes complexes correspondantes. En regroupant les termes et en factorisant dans le membre de gauche le terme , nous obtenons l'équation complexe : .

    Nous en déduisons l'amplitude complexe .

  • Finalement, l'équation (3), équation entre nombres complexes du type , est équivalente aux deux égalités suivantes :

    • égalité des modules :

    • égalité des arguments : ou

L'intensité en régime permanent est déterminée.

L'impédance complexe du circuit se déduit de (3) sachant que ou (relation entre les amplitudes complexes), soit :

Remarque

Les même résultats sont obtenus à partir de l'équation différentielle (2), l'amplitude complexe correspondante au terme réel étant .