Physique
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Résolution

La résolution d'une équation différentielle du premier ordre peut se faire en deux étapes. Il faut d'abord chercher une solution de l'équation dite "homogène" ou "sans second membre":

On cherche ensuite une solution particulière de l'équation complète, du même type que (solution constante si a une valeur constante, polynôme du même ordre s'il s'agit d'un polynôme de , fonction périodique, etc.) La solution générale de l'équation complète s'obtient en faisant la somme de la solution de l'équation homogène et de la solution particulière. (pour la démonstration, voir " Outils Mathématiques pour la Physique ", équations différentielles du premier ordre à coefficients constants). La valeur des constantes d'intégration est donnée par les conditions initiales.

Méthode

Exercice résolu :

A la date , on applique instantanément, aux bornes d'un condensateur non chargé et monté en série avec un conducteur ohmique, une différence de potentiel constante . Déterminer l'équation de la tension aux bornes du condensateur.

Solution :

Aux bornes du générateur on peut écrire: . Aux bornes du condensateur on peut écrire: . Comme il n'y a pas de dérivation, l'intensité du courant est la même partout, donc est liée à la charge du condensateur par :

On obtient donc l'équation différentielle: , qui montre que le circuit étudié est un circuit du premier ordre de constante de temps

Résolution de l'équation homogène :

En supprimant le second membre, on obtient l'équation : qui peut aussi s'écrire : , soit, en séparant les variables et  : ; étant la différentielle du logarithme népérien de , la solution est : , équivalente à :

où A est une constante qu'il faudra déterminer par la suite.

Solution particulière de l'équation complète:

comme a une valeur constante, on cherche une solution particulière constante; alors sa dérivée est nulle et en reportant cette valeur dans l'équation on obtient:

la solution complète de l'équation différentielle est donc:

il reste à déterminer la valeur de en utilisant les conditions initiales ; à , le condensateur est déchargé, donc la tension aux bornes de ce condensateur est nulle : , qui, reporté dans l'équation précédente, conduit à :

soit : , d'où et finalement :

la tension aux bornes du condensateur passe donc progressivement de 0 à en suivant une loi exponentielle.

La dérivée par rapport au temps de est : , dont la valeur pour est donc , et dont la limite pour tendant vers l'infini est nulle. La tangente à l'origine à la courbe coupe donc l'asymptote horizontale pour ; à cette date, la tension vaut

Légende :
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