La variation de température appliquée au thermomètre peut être considérée comme un échelon de à . Puisque le thermomètre est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :

+ solution particulière de l'équation complète

comme la grandeur à mesurer (température du malade) est constante, on cherche une solution particulière constante, ce qui donne , d'où la solution générale :

pour déterminer la constante , il faut utiliser les conditions initiales ; si on prend comme origine des dates l'instant où le thermomètre est mis en contact avec le malade, à le thermomètre indiquait :

, d'où ; finalement :

le thermomètre indique pour .

pour , il indique donc : ; comme il est gradué en de degré, on peut estimer qu'au bout d'une minute, on peut lire la température du malade