comme la grandeur à mesurer (température du liquide) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de ; en prenant pour nouvelle origine des dates l'instant auquel le chauffage s'arrête :

température du liquide :

solution particulière : , d'où :

résolution de l'équation différentielle :

identification

- des termes du premier ordre :

- des termes constants :

ce qui donne , variation linéaire décalée de dans le temps par rapport à la température du liquide d'où la solution générale :

.

pour déterminer la constante , il faut utiliser les conditions initiales ; quand la température commence à baisser, le thermomètre indique la température de consigne : ,

.

. Finalement :

( en , en )