Puisque le thermomètre est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :

+ solution particulière de l'équation complète

comme la grandeur à mesurer (température du liquide) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de

température du liquide :

solution particulière : , d'où :

résolution de l'équation différentielle :

identification

- des termes du premier ordre :

- des termes constants :

ce qui donne , variation linéaire décalée de dans le temps par rapport à la température du liquide d'où la solution générale :

.

pour déterminer la constante , il faut utiliser les conditions initiales ; avant que la température commence à monter, le thermomètre est supposé en équilibre avec le liquide : ,

.

. Finalement :

.( en , en )