1. Démonstration de la relation.

Remarque : ces calculs sont longs et fastidieux et il est indispensable d'avoir un moyen de contrôle : vérifiez que les expressions ci-dessus peuvent se contrôler par permutation des indices, dans l'ordre (cette permutation porte simultanément sur les indices et sur les variables de dérivation).

2. Pour démontrer la relation :

on applique la relation précédente aux champs électrique et magnétique :

Maxwell (en dehors des courants)

Le vecteur de Poynting est :

3. La densité d'énergie dans un volume t est :

est l'énergie contenue dans le volume ( ).

4. L'onde qui se propage est plane

avec

, est dans le sens du vecteur unitaire de la propagation.

5. On choisit la même orientation que dans la question précédente. La propagation de l'onde plane harmonique dans le sens de croissant se représente par une fonction du type [à un déphasage près que l'on peut choisir nul si les conditions initiales ne s'y opposent pas]

Remarque :

On peut exprimer le flux de ce vecteur de Poynting à travers une surface fermée constituée d'un cylindre dont la génératrice est parallèle à et de surface de base .

Le flux à travers la surface latérale du cylindre est donc nul et il ne reste que le flux à travers la surface située en et à travers la même surface située en .(c= vitesse de l'onde).

On peut considérer une surface assez petite pour que soit constant sur . Comme , celà revient à supposer que ne varie qu'avec (ou qu'avec ).

étant la densité d'énergie dans le volume ( ) délimité par la surface fermée ( ), la quantité est l'énergie contenue dans ( ).

En faisant tendre , on retrouve ici le résultat général donné :

Valeurs moyennes. (notées : <...>)

Moyenne dans le temps (sur )

il reste donc :

Moyenne dans l'espace (sur ) : on trouve de la même façon :

Remarquer que l'énergie électromagnétique se propage, puisque est une fonction de ( ), mais que ces valeurs moyennes restent constantes (ne dépendent ni de ni de ).