a- Force de radiation

On veut connaitre la force de radiation exercée sur la surface dans les deux cas :

Ces deux cas peuvent se réaliser en considérant une onde progressive qui arrive sur une cible A.

Dans ce dernier cas, la superposition de l'onde progressive et de l'onde régressive donne une onde stationnaire.

Le problème posé peut donc se résoudre strictement en reprenant les arguments du cours. On trouve dans ces conditions :

Dans les 2 cas, désigne la densité d'énergie de l'onde progressive sur la surface .

Comme dans le second cas il n'y a pas d'absorption d'énergie par la cible , la densité d'énergie sur A de l'onde réfléchie est la même que la densité d'énergie de l'onde incidente. Avec les conditions particulières de réflexion définies sur la cible, représente alors la densité d'énergie totale de l'onde stationnaire.

Autrement dit, avec ces conditions de réflexion, si l'on note la densité d'énergie de l'onde (progressive ou stationnaire), la pression de radiation est .

Noter que, dans tous les cas, la densité d'énergie est une variable locale c'est-à dire définie en un point (ou dans un domaine élémentaire, ou ici, en tous les points d'une surface élémentaire ).

On va maintenant calculer directement la pression de radiation.

On considère une surface cylindrique fermée de surface de base et d'épaisseur ( vitesse de l'onde électromagnétique dans le vide). Le volume contenu dans est donc :

Dans ce volume, la densité d'énergie est , l'énergie est donc :

On note la quantité de mouvement de l'onde électromagnétique

quand

Par définition, la force (ici force de radiation) est toujours :

, où est la densité d'énergie totale de l'onde électromagnétique en .

b- Onde progressive, onde stationnaire.

La densité d'énergie de l'onde électromagnétique est toujours :

On doit utiliser les expressions qui définissent et pour calculer .

b-1

Cas 1 Pour l'onde progressive définie par : et

la densité d'énergie est définie en tout point et à tout instant par :

en tout point et à tout instant .

Cas 2 Pour l'onde stationnaire particulière :

et

la densité d'énergie est alors définie en tout point et à tout instant par :

b-2

Ces ondes sont planes car ne dépendent que d'une seule variable d'espace ( ) : l'onde progressive et l'onde stationnaire sont invariantes dans tout plan orthogonal à .

b-3

L'onde stationnaire qui est donnée ici s'obtient par superposition de l'onde progressive et d'une onde régressive. En effet, si on connait :

et

et

alors, l'onde régressive doit être de la forme :

(se rappeler que :

et )

b-4

Mais alors, la réflexion sur la cible A ne doit pas avoir lieu en , mais à une abscisse telle que c'est à dire : soit par exemple

Dans ces conditions, la cible A ( en ) est un nœud de vibration pour

Remarque 1 : c'est la condition de réflexion sur la cible ( ) qui permet de définir la forme de l'onde régressive qui prend naissance par la réflexion de l'onde progressive. La forme de l'onde progressive et de l'onde stationnaire étant données ici, on peut donc en déduire l'endroit où se produit la réflexion ainsi que la forme de l'onde régressive.

Remarque 2 : Les relations qui définissent les densités d'énergie en tout point et à tout instant t sont respectivement : (progressive)

(stationnaire)

donc : ! ! !

b-5

Par contre localement, sur la surface de la cible A (en

On retrouve bien la relation démontrée dans le cours concernant la densité d'énergie sur la cible.

c- Densité d'énergie de l'onde stationnaire.

Pour toute onde électromagnétique, le vecteur de Poynting est :

Ici, le champ (stationnaire) a simplement pour composantes :

avec

c-1

Sur le miroir (en et (déjà vu)

Le vecteur de Poynting est nul sur la surface .

c-2

Sur la surface A' située à l'ordonnée telle que :

En remplaçant :

Faisant tendre et

c-3

On a donc :

Considérant la surface fermée définie précédemment : le flux du vecteur de Poynting à travers la surface latérale est nul, celui à travers la surface (située en ) est nul, il ne reste que celui à travers la surface située en . (revoir le schéma question a)

Par ailleurs, et est le volume contenu à l'intérieur de la surface .

Avec

La densité d'énergie stationnaire ne dépend donc que du temps

on peut intégrer cette relation :

En notant la densité d'énergie stationnaire

,

c-4

Cette relation est bien la relation attendue, puisqu'on a trouvé à la question -b.5-

. En y reportant

et , on a bien :

- d - Synthèse

d-1

d-2

e- Stabilité des poussières interstellaires

e-1- Calculons la pression de radiation exercée sur une poussière.

L'intensité rayonnée par le soleil possède une symétrie sphérique (i.e. sur la surface d'une sphère de rayon centrée sur le soleil).

où la puissance rayonnée est reliée à l'énergie rayonnée pendant le temps par la relation : . D'où,

La quantité de mouvement de l'onde est :

La force de radiation s'exprime par la variation de quantité de mouvement.

Si la quantité de mouvement de l'onde est initialement puis après interaction avec la cible, la force de radiation est alors :

Dans ce cas, la quantité de mouvement de l'onde étant nulle après l'interaction, cela signifie que l'onde n'est pas réfléchie et que son énergie a été absorbée par la cible.

Si la quantité de mouvement de l'onde est initialement puis après interaction avec la cible, cela signifie que l'onde a été réfléchie sans absorption d'énergie. On est ici dans cette situation : les particules réfléchissent la lumière ce qui les rend visibles depuis la Terre ; et on admettra simplement que les particules n'absorbent pas du tout l'énergie de l'onde.

Dans ce cas, la variation de quantité de mouvement de l'onde est donc le double de la précédente, soit :

Par définition, la pression de radiation est la force de radiation par unité de surface. À la distance , le soleil rayonne sur une surface ( ).

La pression de radiation de l'onde sur les particules est donc :

Dans cette expression, est l'énergie rayonnée par unité de surface par unité de temps et la vitesse de la lumière. ( s'exprime en watt par seconde par ).

Vérification : équation aux dimensions.

(watt)

Une force a pour dimension

On peut vérifier la cohérence avec la relation :

qui donne

La pression de radiation est une force par unité de surface

a bien la dimension d'une pression (de radiation)

s'exprime en .

Calcul.

La surface de la poussière perpendiculairement au rayonnement (maitre couple) étant , la force exercée par la radiation solaire sur la poussière est donc :

.

La force de gravitation est : avec

.

Ces deux forces ont des valeurs très voisines. Cela explique que les poussières interplanétaires ne tombent pas sur le soleil.

e-2- Forme de la queue d'une comète.

L'intensité de la radiation solaire est donnée en fonction de la distance au soleil par la relation :

Dans cette expression, est la puissance émise par le soleil soit watt et la surface de la sphère de rayon centrée sur le soleil.

On a vu que la force liée à la radiation globale sur une sphère de rayon est :

la pression de radiation sur la particule à la distance est :

La force de radiation sur cette particule de rayon est:

La force de gravitation est :

En égalant les forces : , il vient , relation qui est indépendante de la distance .

Pour une particule parfaitement réfléchissante, on trouve l'égalité des forces de gravitation et de radiation pour .

(soit, un diamètre très proche de celui mètre indiqué question précédente).

La résultante des forces agissant sur ces particules est donc nulle.

Pour des particules ayant ce rayon , après abandon de la comète, leur trajectoire est donc rectiligne, avec une vitesse en module égale à celle de la comète.

Ainsi en portant, sur les tangentes à la trajectoire de la comète en supposant le module de la vitesse constant, les différentes positions des poussières pour les différents intervalles de temps t on obtient en rejoignant les points pour un même la forme de la queue de la comète.