Dans le cas du système des
masses, on a trouvé la vibration de la n-ième masse lorsque le système vibre dans le mode propre
(de pulsation
) sous la forme :
Dans cette expression :
caractérise l'amplitude dans le mode
de la masse
, située en
. Cette amplitude est donc une fonction de
.
La solution
s'exprime par le produit de cette fonction de
par la valeur (en fonction de
) de la fonction propre oscillante :
.
Dans le cas de la corde vibrante,
représente l'ordonnée (sur l'axe
) de l'élément de la corde sur lequel on applique le Principe Fondamental de la Dynamique :
l'amplitude de la vibration sera recherchée sous forme d'une fonction
de
,
la solution de l'équation des cordes vibrantes sous forme d'un produit de la valeur
de cette fonction par la valeur instantanée de la fonction oscillante
.
La forme des vibrations dans le cas du nombre infini de degrés de liberté est ainsi induite par le passage à la limite qui a été annoncé.
Le mode propre
sera donc recherché sous la forme :
On calcule les dérivées de
:
On injecte ces valeurs dans l'équation de propagation, ce qui donne :
L'équation obtenue en
:
permet de déterminer la forme générale de l'amplitude
du mode propre de pulsation
: