• Dans le cas du système des masses, on a trouvé la vibration de la n-ième masse lorsque le système vibre dans le mode propre (de pulsation ) sous la forme :

  

  Dans cette expression :

  • caractérise l'amplitude dans le mode de la masse , située en . Cette amplitude est donc une fonction de .

  • La solution s'exprime par le produit de cette fonction de par la valeur (en fonction de ) de la fonction propre oscillante : .

• Dans le cas de la corde vibrante, représente l'ordonnée (sur l'axe ) de l'élément de la corde sur lequel on applique le Principe Fondamental de la Dynamique :

  • l'amplitude de la vibration sera recherchée sous forme d'une fonction de ,

  • la solution de l'équation des cordes vibrantes sous forme d'un produit de la valeur de cette fonction par la valeur instantanée de la fonction oscillante .

La forme des vibrations dans le cas du nombre infini de degrés de liberté est ainsi induite par le passage à la limite qui a été annoncé.

Le mode propre sera donc recherché sous la forme :

On calcule les dérivées de :

On injecte ces valeurs dans l'équation de propagation, ce qui donne :

L'équation obtenue en :

permet de déterminer la forme générale de l'amplitude du mode propre de pulsation :