Séries de Fourier et parité

Enoncé

  1. Soit une suite de fonctions paires de la variable et une suite de fonctions impaires de . On considère la fonction de définie par :

    et sont des coefficients réels non tous nuls.

    Vérifier les propriétés suivantes :

    • la fonction est paire

    • la fonction est impaire

    et réciproquement une fonction définie par :

    • se réduit à la forme si la fonction est paire

    • se réduit à la forme si la fonction est impaire.

  2. On admettra que cette propriété reste vraie si est infini, à condition que ces séries de fonctions convergent.

    Dans ces conditions, écrire les développements en Série de Fourier : d'une fonction paire et respectivement d'une fonction impaire.

    On considère un phénomène dépendant du temps, périodique, de période , et valant pendant une demi période et pendant l'autre demi période.

  3. Choisir l'origine des de sorte que le phénomène soit représenté par une fonction périodique paire. Donner l'expression de la fonction et représenter son graphe.

    Exprimer son développement en série de Fourier et calculer les coefficients de ce développement.

    Représenter le spectre de Fourier de .

  4. Choisir l'origine des de sorte que le phénomène soit représenté par une fonction périodique impaire.

    Donner l'expression de la fonction et représenter son graphe.

    Exprimer son développement en série de Fourier et calculer les coefficients de ce développement. Représenter le spectre de Fourier de .

Légende :
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