1-

On considère la fonction :

est une suite de fonctions paires

est une suite de fonctions impaires

paire

impaire

Toute combinaison linéaire de fonctions paires est une fonction paire.

Toute combinaison linéaire de fonctions impaires est une fonction impaire.

Inversement, une fonction réelle quelconque (ni paire, ni impaire) peut s'exprimer comme combinaison linéaire de fonctions paires et impaires :

Si est paire :

et paire

et impaire

Si la fonction est paire , elle se réduit à une combinaison linéaire de fonctions paires.

On montre de la même façon que si la fonction est impaire, elle se réduit à une combinaison linéaire de fonctions impaires.

2-

On admet que ce résultat reste vrai si et on l'applique au cas des fonctions périodiques :

Remarquer que est une "fonction constante" qui ne dépend pas de , donc garde le même valeur en et en . La "fonction constante" est donc une fonction paire.

paire

impaire

3-

On considère la fonction paire de période définie par :

pour

pour

avec et

valeur moyenne de la fonction sur une période.

Dans cette expression de puisque le terme a été sorti de la somme.

pair

impair ( entier)

pour impair :

La série des est alternée. En module : et

Les rapports caractérisent la forme de la fonction périodique, quelle que soit son amplitude .

(Voir le spectre de Fourier de la fonction )

4-

On définit la fonction impaire à partir de la fonction impaire par une double translation d'origine :

Alors : pour pour

de la fonction F² paire
de la fonction F² paire
de la fonction G² impaire
de la fonction G² impaire

On a alors : qui est une fonction ni paire (à cause des sinus) ni impaire (à cause du terme constant )

et qui est une fonction impaire.

avec

pair

impair

Remarquer que, pour impair, les coefficients sont toujours positifs et

Sur ce schéma, le graphe en trait épais représente la somme des 7 premiers harmoniques non-nuls de la série de Fourier d'une fonction périodique carré symétrique.

Remarquer que .