Calcul direct des coefficients de Fourier

Enoncé

On considère la fonction (de période ). On admet l'existence de son développement en série de Fourier :

i.e. on admet que cette série trigonométrique converge.

On admet aussi que si l'on multiplie chaque terme de cette série par un même facteur dont le module est inférieur à 1, la série obtenue est également convergente.

Si, par exemple, on multiplie chaque terme de cette série par le facteur (où est un entier quelconque) , la nouvelle série ainsi obtenue converge alors vers la fonction .

  1. Exprimer l'intégrale de cette fonction : sur une période .

    Montrer que, pour  :

    et que, pour  :

  2. En déduire l'expression des coefficients de Fourier de la fonction .

  3. Commenter la signification de ces intégrales en terme de produit scalaire (on remarquera que ).

Légende :
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