Spectre discret. Spectre continu.

Enoncé

On désigne par une fonction créneau de variable , , périodique et de période .

Chaque créneau, de valeur pendant un intervalle de temps , est séparé du créneau suivant par un intervalle de temps pendant lequel la fonction est nulle. La période de la fonction est ainsi .

  1. Montrer qu'il est possible de choisir l'origine des temps de sorte que la fonction ainsi définie ait un développement en Série de Fourier de forme particulière :

  2. Montrer que

  3. Montrer que

  4. Dans le cas particuliers suivants : donner le développement en série de Fourier de ces fonctions et représenter leur spectre : .

  5. Dans le cas particulier où on notera la fonction définie sur l'ensemble discret des valeurs de , et telle que :

    Exprimer .

    Montrer que, lorsque : la fonction tend vers une fonction défini sur l'ensemble continu des valeurs de , et telle que :

    , où l'on explicitera en fonction de .

  6. Déterminer (sur la base des exponentielles complexes) le spectre [noté ici ] d'une fonction non périodique valant pendant un intervalle de temps centré sur l'origine, et nulle ailleurs.

    Comparer à l'expression du spectre trouvé à la question précédente et commenter.

    Tracer le graphe : { }.

Légende :
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