1-

Le développement de la fonction est pair

la fonction est paire

2-

3-

et

En posant

Le coefficient ne dépend pas de est proportionnel à

4-

tous les termes pairs ont une amplitude nulle.

impair on pose

tous les termes de rang multiple de ont une amplitude nulle.

Calcul :

5-

avec

et

variable continue

avec

ou

Schéma ci-dessus: enveloppe et spectre d'une fonction périodique carré dissymétrique, pour , (l'harmonique de rang a une amplitude nulle).

6-

En utilisant le résultat de la question précédente, on trouve donc

6-a- Commentaire

On vérifie que est la limite de quand tend vers (alors que

(avec )

(ce qui était prévu !)

Plus généralement, les termes sont nuls pour : soit :

Cas particulier : (schéma précédent)

6-b- Dans le cas d'une fonction réelle

à partir du développement en exponentielles on peut retrouver un développement en cosinus.

est paire

Changement de variable pour que soit

car est paire

est développable en série de par passage à la limite, on a une transformée de Fourier en

avec pour spectre qui est bien la relation trouvée.

Remarque : cet exercice permet de montrer le passage à la limite (lorsque la période de la fonction créneau carré tend vers l'infini). On obtient alors un spectre continu qui s'exprime sur la base des .

Notez cependant qu'au delà de cet exercice, l'expression usuelle des transformées de Fourier se fait sur la base des .