Fonction cos. réduite à un support borné: élargissement de raies spectrales

Enoncé

Soit la fonction définie par :

  • pout , où est quelconque

  • en dehors de cet intervalle.

  1. Représenter cette fonction.

    Déterminer son spectre , défini par la transformée de Fourier de la fonction .

    Montrer que ce spectre est constitué de parties (que l'on notera et ), telles que (i.e. symétriques par rapport à ) et présentant un maximum respectivement en et  .

    Tracer ce spectre et le comparer à celui de la fonction périodique : .

  2. On suppose que la durée de cette vibration est égale à fois la période de la vibration.

    Montrer que dans ces conditions, la partie du spectre représente dans la région une contribution au spectre inférieure au de son amplitude maximum.

    On conviendra par suite de négliger la contribution de ce terme dans cette région.

  3. On appellera la largeur de la bande spectrale comprise entre les valeurs de correspondant aux premiers minimums de situés de part et d'autre de .

    Montrer que le fait de limiter la durée de la vibration à un intervalle de temps est responsable d'un élargissement de la raie centrale en .

    Pour ce faire, on établira la relation : .

Légende :
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