Transformée de Fourier d'un oscillateur amorti

Enoncé

  1. Rappeler l'expression générale du spectre de Fourier d'une fonction non périodique, sur la base des exponentielles complexes.

    On considère le signal défini par : pour

    pour

    et sont des coefficients réels, positifs, quelconques.

  2. En utilisant l'expression de en fonction des exponentielles complexes, calculer l'intégrale représentant le spectre de la fonction définie ci-dessus. (le résultat sera une fonction de dépendant aussi des paramètres du problème, à savoir : , et ).

  3. On pose :

    Donner la nouvelle expression de obtenue en éliminant le paramètre .

    En déduire

    Déterminer la valeur de qui rend la fonction maximum.

    Déterminer le comportement de cette fonction : pour

    et en tracer le graphe pour

    On considère un circuit série fermé, et on repère les différences de potentiel aux bornes du condensateur.

    À l'instant pris comme origine des temps, on fait varier la tension par une impulsion, ce qui se traduit par : et

  4. Montrer que l'oscillation de tension aux bornes de est régie par une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :

    dans laquelle on explicitera la valeur des paramètres et en fonction des données .

  5. En admettant que, dans le cas où , la solution générale peut se mettre sous la forme : , exprimer la solution particulière satisfaisant les conditions initiales.

    Dans ces conditions, que représente l'expression définie à la question .

Légende :
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