1-

Expression générale du spectre de  : avec

2-

En utilisant l'expression : , le signal s'exprime :

3-

En posant :

Soit la valeur de qui rend Maximum (résonance), si ce Maximum existe.

Recherche du Maximum :

avec

en  : (tangente horizontale)

4-

Il est nécessaire de résonner algébriquement par rapport à un sens de référence (choisi arbitrairement).

Conventions :

(1) on appelle f.e.m le ddp entre sortie et entrée (en référence au sens de parcours)

(2) la charge du condensateur est celle portée par l'armature d'où sort la flèche correspondant au sens

(1) On pose (noter qu'alors pourra être le potentiel de référence , i.e. la masse)

La f.e.m d'induction est alors

sens du courant dans le sens

les électrons vont dans le sens

vont du générateur vers l'armature portant a charge (côté borne )

chute ohmique de tension dans la résistance si

d'après la convention (2)

Dans la maille :

Pour obtenir l'équation définissant l'oscillation de tension aux bornes du condensateur, on a le choix : la tension peut désigner soit , soit

Cependant, il y a un argument physique à poser plutôt : le point est alors potentiel de référence aussi bien pour que pour . (Mais ce choix n'est pas obligatoire).

On obtient dans ces conditions :

avec et

et en posant : et on obtient

S' il n' y a pas de source

Cela n'est évidemment pas nécessaire de passer par le cas où l'on a une source en série, mais cette mise en équation est à traiter de façon détaillée.

5-

Résolution de l'équation dans le cas : .

Discriminant de l'équation caractéristique :

on pose

solutions et

Remarquer que cette "technique" de résolution revient à chercher à exprimer les solutions de l'équation différentielle sur la base des exponentielles complexes : avec

alors :

La solution de l'équation différentielle est donc une combinaison linéaire des solutions :

avec

Pour que cette solution soit réelle, il faut que dans cette somme l'un des termes soit le conjugué de l'autre (de sorte que la somme des parties imaginaires s'annule)

(complexe conjugué de )

En posant : et

Conditions initiales :

la condition initiale est satisfaite en posant . On choisit

(condition initiale fixée)

Le circuit considéré (voir schéma précédent) dans le cas est résonnant ( et )

Admettons qu'on puisse disposer d'une source qui crée les conditions initiales fixées

(calculée en -2) est alors le spectre de Fourier de la tension aux bornes du condensateur :

On montrera en TP que si on excite le circuit avec une source périodique de tension carrée, alors, le circuit est excité par ce carré périodique, i.e. par l'ensemble des harmoniques (aux différentes pulsations , ,de ce carré).

Alors :

En appelant l'amplitude de la composante de pulsation de la source i.e (facteur de surtension à la pulsation )

L'ensemble des valeurs des pulsations permet de tracer la courbe de résonance du circuit (obtenue point par point, aux valeurs ).