Propagation et interférence entre 2 sources

Enoncé

On considère fentes parallèles identiques, de largeur et séparées par la distance , situées dans le plan , et toutes deux parallèles à l'axe .

Sur ces deux fentes arrive depuis la région une onde plane, scalaire, monochromatique, de pulsation et de vecteur d'onde dirigé dans le sens positif défini par . On appellera A l'amplitude de cette onde.

L'ensemble de ces deux fentes constitue ainsi une source de vibrations dont on se propose d'étudier la propagation dans le plan et dans la région .

1- Exprimer la densité d'amplitude de la vibration émise en fonction de l'abscisse d'un point quelconque appartenant au plan de la source et représenter .

Exprimer la densité d'amplitude de la vibration qui arrive en un point du plan qui a été émise par un point quelconque du plan , en fonction :

  • du facteur défini précédemment, relatif au point considéré,

  • du vecteur et du vecteur d'onde correspondant

  • de la pulsation .

En déduire l'amplitude élémentaire de la densité de vibration arrivant au point , émise par une élément de source (de "largeur" ) centré au point .

2- On note le vecteur obtenu par projection (sur ) du vecteur d'onde (ce vecteur ne dépend donc pas de l'abscisse du point ) et la composante sur l'axe du vecteur d'onde .

Partant de la relation , exprimer le produit en fonction de , de , de et de

En déduire une expression de l'amplitude élémentaire sous la forme d'un produit de facteurs que l'on interprètera comme traduisant:

  • un phénomène de propagation selon la direction

  • la densité

  • le déphasage lié à la position x de l'élément de source centré en

  • la "largeur" de l'élément.

3- En déduire l'expression de la densité de vibration en un point produite par la totalité de la source.

Sachant que la transformée de Fourier d'une fonction paire est une fonction paire, mettre en évidence (dans l'expression précédente) un facteur représentant la transformée de Fourier de .

Calculer et exprimer en fonction de , de et de .

Vérifier que le module de la densité de vibration au point est donné par

Expliciter ce module par une fonction (que l'on notera ) telle que

Représenter l'allure générale de .

4- On dispose, centré au point d'abscisse , un appareil de mesure qui possède une certaine largeur et qui est sensible au module de la vibration .

Cet appareil détecte non pas directement le module de l'amplitude de la vibration s'étant propagé selon une direction définie par la direction de , mais il somme ces modules pour les vibrations s'étant propagé dans un domaine (autour de la valeur ) défini par la largeur de l'appareil de mesure.

On notera :

  • l'abscisse centrale de l'appareil de mesure,

  • l'abscisse d'un point de l'appareil, et

  • sa sensibilité en fonction de la position du point considéré.

Exprimer le résultat de cette mesure.

Dans le cas particulier où la sensibilité de cet appareil de mesure est supposée constante sur toute sa largeur , représenter schématiquement la mesure effectuée sur la grandeur à mesurer (par cet appareil centré à l'abscisse ).

Déduire de la forme précédente l'expression de cette mesure.

Exprimer le résultat de la mesure dans le cas particulier où, de plus, l'appareil est centré sur une position pour laquelle est extrémum et où la largeur de l'appareil est assez petite pour pouvoir considérer que varie peu sur le domaine .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)