Propagation d'une fonction ayant une bande spectrale en forme de créneau

Enoncé

Soit le spectre (sur la base des exponentielles imaginaires) d'une fonction non périodique de variable , défini par :

pour est quelconque

en dehors de cet intervalle.

  1. Déterminer la fonction dont est le spectre, et en déduire (en notation complexe) l'expression de la propagation de la vibration dans la direction (la position de la source sera prise pour origine de la variable ).

  2. On admettra l'expression du développement (série de Taylor) d'une fonction autour d'une valeur particulière de sa variable, et on l'appliquera à la fonction , à savoir :

    On posera :

    Exprimer le développement précédent en fonction de .

    En admettant que la bande est très étroite ( ), montrer que ce développement peut être limité au premier ordre, et en donner l'expression.

    On posera :

  3. En utilisant alors le résultat de la question 1-, déterminer .

    Mettre ce résultat sous la forme :

    Représenter la partie réelle de et interpréter ce résultat.

Légende :
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