Soit une vibration dont l'amplitude est :

  • constante et égale à pendant l'intervalle , centré à l'origine,

  • nulle en dehors de cet intervalle.

Cette vibration est représentée par une fonction qui satisfait les conditions suffisantes (support borné, nombre fini de discontinuités, module carré sommable) pour que sa transformée de Fourier existe.

Soit sa transformée de Fourier, i.e. la densité d'amplitude de sur la base des .

Pour calculer , l'amplitude de étant nulle en dehors de l'intervalle , il ne reste à calculer que l'intégrale sur cet intervalle, support de la fonction .

Soit

  • La densité d'amplitude est donc proportionnelle au produit : de la hauteur par la largeur du créneau. Ce spectre est donc aussi celui d'une impulsion dont la durée tendrait vers zéro et dont la hauteur tendrait vers l'infini, de sorte que :

    .

  • On pourra montrer en exercice les relations suivantes :

    Dans ces expressions, et représentent la largeur de la bande spectrale qui contient le maximum central de la densité d'amplitude . Autrement dit, quand la durée du signal diminue, sa largeur spectrale augmente.

    De la même façon, quand la largeur du support de la fonction diminue, la largeur spectrale augmente.

    Les 4 schémas ci-dessous (colonne de gauche) montrent cette augmentation de la largeur spectrale lorsque la largeur du support de la fonction diminue.

    Ce résultat est à relier à celui qui correspond au spectre de fonctions périodiques carrés dont le rapport cyclique diminuerait.

Simulation : Spectre discret rapport cyclique 1
Simulation : Spectre discret rapport cyclique 2
Simulation : Spectre discret rapport cyclique 3
Simulation : Spectre discret rapport cyclique 4
Passage à la limite : Transformée - Série de Fourier.

Ayant calculé la Transformée de Fourier de cette fonction créneau, il est possible de calculer les spectres d'une suite de fonctions définie à partir de la fonction créneau mais à laquelle on ajouterait successivement de nouveaux créneaux. On peut prévoir que dans cette opération, à force d'ajouter régulièrement de nouveaux créneaux on finirait par tendre vers le spectre d'une fonction carré périodique. C'est ce que montre le calcul et c'est également ce qu'illustre la simulation ci-dessous.

Revoyez, éventuellement, le passage à limite qui a été défini (§ C.2.a) dans le sens Série-Transformée de Fourier...