Remarque préliminaire : la condition en signifie que la corde vibrante, dans un mode propre, a une tangente en qui est parallèle à l'axe , et donc orthogonale au déplacement de l'anneau de fixation. L'anneau est donc soumis à une force de tension orthogonale à la direction de son mouvement, et comme on suppose qu'il n'y a pas de frottement, celà signifie que la résultante des forces auxquelles est soumis l'anneau est orthogonale à son mouvement.

En lui appliquant le PFD en projection sur l'axe de son mouvement, on a donc : en appelant m la masse de l'anneau.

Or, l'accélération de l'anneau est non nulle. La relation précédente nécessite donc que sa masse m soit nulle (ou tout au moins négligeable par rapport à la masse de la corde).

1-

Conditions aux limites

L'expression générale d'un mode propre est :

En , les conditions aux limites imposent   :

le facteur

Le facteur d'amplitude est donc :

En , la condition :

avec (impair)

Remarque sur la numérotation :

Le fondamental correspondant à ( : impair de à ) ou à ( : tous entiers successifs).

Pour le fondamental : avec et

Pour fixer les idées, on compare ci-dessous la forme de l'état initial de la corde de la question 3- et les modes propres successifs :

Remarque sur le prolongement périodique et sur la symétrie du problème :

La corde vibre (sans frottement) sur le plan horizontal la solution doit être symétrique en (symétrie par rapport à l'axe ) la valeur moyenne de la fonction de qui représente la forme des modes propres doit être nulle si on la calcule sur une période .

la valeur moyenne de la fonction de qui représente le prolongement périodique de la forme de la corde, doit être nulle si on la calcule sur une période (puisque ce prolongement est une combinaison linéaire des modes propres qui possèdent eux-mêmes cette propriété). Cette condition interdit par exemple la forme des prolongements (1) et (3). Le prolongement (2) a une valeur moyenne nulle sur une période . Mais il accepte des harmoniques pairs (à cause de la discontinuité du prolongement en ) : la condition aux limites en n'est donc pas satisfaite.

Le prolongement (4) satisfait à la fois les conditions aux limites et les conditions de symétrie.

Les schémas ci-dessus sont effectués en prenant pour forme initiale de la corde celle de la question 3- (pour fixer les idées) mais cette discussion ci-dessus est plus générale.

2-

Avec les conditions aux limites imposées ici :

Les modes propres sont de la forme :

, impairs et

L'expression générale de la vibration de cette corde est donc :

impairs et

Récapitulatif :

impairs et

forme du mode propre de la corde.

impairs et

terme de la série de Fourier représentant le prolongement périodique de la forme de la corde.

,

impairs et

série de Fourier représentant le prolongement périodique de la forme de la corde.

,

impairs et

vibration du prolongement périodique de la corde.

La restriction sur de cette fonction représente la vibration de la corde : la théorie de Fourier (sous réserve d'effectuer le prolongement périodique adéquat) permet ainsi de calculer les coefficients du développement sur la base des modes propres.

3-

Pour utiliser les conditions initiales de vitesse imposées au système, il faut exprimer la vitesse en :

, condition qui peut être satisfaite en choisissant .

La vibration de la corde s'exprime alors : , impairs et

Il suffit maintenant de calculer les coefficients de Fourier : les valeurs que nous trouverons pour ces coefficients caractériseront complètement la forme initiale de la corde et sa vibration.

Notons la fonction de qui représente le prolongement périodique de la forme initiale de la corde avec  : impairs

(le produit : étant une fonction paire).

pour et pour

impairs

On pose : avec

avec :

avec impair : entiers de à , avec : et

et

la vibration de la corde s'exprime :

entiers de à .