1-

Soit la fonction définie par :

pour est quelconque.

en dehors de cet intervalle

La fonction est une fonction à support borné, i.e. elle est nulle partout sauf sur l'intervalle .

Sur son support, cette fonction est continue et bornée. Sa Transformée de Fourier existe donc, et nous allons la déterminer.

Soit :

En utilisant les formules d'Euler, puis en intégrant :

en posant et

On remarque que : s'obtient à partir de en remplaçant par , i.e. : .

le spectre présente un maximum en

le spectre présente un maximum en

En exprimant la fonction périodique , pour par la formule d'Euler :

on voit donc que le spectre de cette fonction sur la base des exponentielles admet justement pour fréquences et .

Mais dans le cas d'une fonction périodique le spectre est discret, au lieu que le spectre soit continu dans le cas de la fonction à support borné (voir schémas suivants).

2-

Le schéma (2) correspond à une fonction dont le support est .

Soit dans ce cas : la valeur de la pulsation correspondant au 1° maximum de la fonction dans la région . Ce qui signifie donc que est égal à modulo .

D'où : . On a donc :

et

L'amplitude du 1° max de dans la région est donc de l'ordre du de la valeur du maximum de dans la région . [Remarque : pour ]

Durée de la fonction  :

Durée de la fonction

Durée de la fonction  :

Le spectre de la fonction est la somme de termes et .

Les schémas ci-dessus montrent l'effet de la durée de la fonction sur la forme de son spectre : le spectre est d'autant plus resserré que la fonction dure plus longtemps. Dans le cas limite de la fonction périodique (durée de à ), le spectre est réduit aux seules valeurs et .

3-

La "largeur" du spectre autour de est représentée par la bande centrale dont les limites et correspondent aux 1° valeurs nulles du sinus, de part et d'autre du maximum (en ). (voir schéma précédent). Ces valeurs nulles du sinus correspondent à des arguments multiples de . Entre les limites et de la bande, la différence des arguments est donc .

Considérons la partie du spectre :

correspond au maximum

correspond à la valeur

correspond à la valeur

Les valeurs aux limites de l'intervalle considéré sont en effet :

et

Cette relation entre la durée de la fonction et l'extension du spectre de cette fonction est plus générale que la cadre de cette démonstration. Cette relation est illustrée par les schémas précédents.

Elle montre que l'on ne peut pas simultanément réduire autant que l'on veut la durée d'un signal et la largeur de son spectre de pulsations temporelles.

Cette limitation n'est pas une question technique (pas seulement), mais elle est plus profondément liée à la nature des "objets théoriques" en jeu dans le modèle ondulatoire.

De la même façon, on peut montrer une relation analogue : qui montre que l'on ne peut pas réduire autant que l'on veut la largeur d'un "objet" et la largeur de la bande spectrale qui représente cet objet.