1-

est symétrique par rapport à

On note et les valeurs de telles que :

ou

2-

L'amplitude en fonction de est :

représente l'amplitude de l'onde harmonique :

L'onde incidente :

C'est la partie réelle de :

3-

On effectue un développement en série de

on a vu que : représente l'intervalle sur lequel a une valeur appréciable

on limitera le développement :

4-

On pose : et vitesse de groupe

au 1er ordre :

On remplace :

5-

on pose donc :

6-

On pose : partie réelle de

La propagation du groupe d'onde (l'enveloppe de modulation) se fait à la vitesse (appelée vitesse de groupe), vitesse qui est relative au facteur de modulation

À l'intérieur de cette enveloppe, la propagation de l'oscillation se fait à la vitesse

mais revient à dire que varie linéairement avec (si est proche de ).

le paquet se déplace sans déformation (mais on aura en général )

7-

On a trouvé (question 2) que :

En utilisant la définition :

mais de plus, l'approximation faite ( : linéaire) donne non pas nécessairement

Or :

déplacement de l'enveloppe

8-

Reprenons l'expression déjà vue (question 3) :

ce qui revient à remplacer dans l'expression de par

en posant :

on posera alors et on est ramené au cas précédent :

par substitution : suffit

9-

(obtenu d'après le résultat de la question 5) et

L'enveloppe de modulation : ne se propage plus à la vitesse et de plus se déforme à cause du facteur :