Question
Énoncé
L'hydrogénosulfure d'ammonium NH4HS et le carbamate d'ammonium NH4CO2NH2 solides se dissocient respectivement selon les réactions 1 et 2 suivantes :
NH4HS (s) = NH3 (g) + H2S (g) (1)
NH4CO2NH2 (s) = 2 NH3 (g) + CO2 (g) (2)
A 298 K, les constantes d'équilibre de ces réactions valent respectivement K1 = 0,108 et K2 = 2,43 10-3.
Si l'on place un excès de ces 2 composés dans un récipient initialement vide à cette température, quelle sera la pression partielle du gaz ammoniac formé lorsque l'équilibre sera atteint ?
Donner la réponse en bar.
Rappel de cours :
Il est nécessaire d'établir une 3ème relation entre les pressions partielles des gaz à l'équilibre.
On peut établir une relation entre les quantités de gaz en explicitant les avancements à l'équilibre des réactions (1) et (2), soit \(\xi_{1, equil.}\) et \(\xi_{2, equil.}\).
La quantité d'ammoniac présente à l'équilibre est liée aux avancements à l'équilibre de ces 2 réactions.
Résultat
Correction
Explications
Les constantes des équilibres 1 et 2 s'écrivent :
\(K_1 = a_{NH_3, equil.} \times a_{H_2S, equil.} = \frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} \times \frac{P_{H_2S, equil.}}{P°}\) (3)
\(K_2 = a_{NH_3, equil.}^2 \times a_{CO_2, equil.} = \left(\frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} \right)^2 \times \frac{P_{CO_2, equil.}}{P°}\) (4)
Les équations (3) et (4) contiennent 3 inconnues :
\(\frac{P_{NH_3, equil.}}{P°}\), \(\frac{P_{H_2S, equil.}}{P°}\), \(\frac{P_{CO_2, equil.}}{P°}\)
Les avancements à l'équilibre des réactions 1 et 2 peuvent être exprimés en fonction des quantités de matière.
\(\xi_{1, equil.} = \frac{n_{NH_3, 1}}{1} = \frac{n_{H_2S, equil.}}{1}\)
\(\xi_{2, equil.} = \frac{n_{NH_3, 2}}{2} = \frac{n_{CO_2, equil.}}{1}\)
Les quantités de H2S et de CO2 présentes à l'équilibre sont directement reliées aux avancements respectifs à l'équilibre des réactions 1 et 2. Il n'en est pas de même pour l'ammoniac qui est produit par les 2 réactions. En tenant compte de ce fait, et en utilisant ces relations, on obtient : \(n_{NH_3, equil} = n_{NH_3, 1} + n_{NH_3, 2} = n_{H_2S, equil} + 2n_{CO_2, equil.}\)
En multipliant par R T / (V P°), les 2 membres de l'égalité entre quantités de matière à l'équilibre, on obtient la 3ème relation cherchée :
\(\frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} =\frac{P_{H_2S, equil.}}{P°} + 2 \times \frac{P_{CO_2, equil.}}{P°}\) (5)
L'élimination des pressions partielles de H2S et de CO2 permet de former une équation du 3ème degré : \(\left( \frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} \right)^3 - K_1 \frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} - 2K_2\) = 0
\(\left( \frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} \right)^3 - 0,108 \times \frac{P_{NH_3, equil.}}{P°} - 4,86 \times 10^{-3}\) = 0
qui possède une seule racine positive :
\(\frac{P_{NH_3, equil.}}{P°}\)= 0,35
\(P_{NH_3, equil.} = 0,35 \times P°\) = 0,35 bar
Remarque : Les machines à calculer programmables donnent la solution d'équations polynomiales du 3ème degré et de degré plus élevé. Mais les racines peuvent être trouvées rapidement sans l'usage de ces machines, par dichotomie ou par tracé de la fonction du 3ème degré. Dans ce cas, on cherche 2 valeurs suffisamment proches de la variable pour lesquelles cette fonction change de signe.