Introduction à la mécanique quantique

Les expériences de diffraction d'électrons par les fentes de Young montrent que les électrons manifestent certaines propriétés typiquement ondulatoires. Si on remplace dans l'expérience des fentes de Young la source lumineuse par une source d'électrons capable d'émettre les électrons un par un, on constate en mesurant à l'aide d'un détecteur adapté le nombre d'impacts sur la cible que chaque électron pris individuellement semble se comporter de manière aléatoire puisque son impact peut se trouver a priori n'importe où sur la cible. Mais au bout d'un temps suffisant, quand un grand nombre d'électrons sont arrivés sur la cible, la courbe du nombre total d'impacts en fonction de la position sur la cible est du même type que celle obtenue avec une source lumineuse : on observe en effet des zones sans impacts alternant avec des zones où le nombre d'impacts est grand. Comme pour les ondes lumineuses, si on ferme une des fentes, l'alternance disparaît. Il y a donc là manifestation d'un phénomène d'interférence bien qu'a un instant donné, un seul électron se trouve entre les fentes et la cible où il ne peut donc pas interférer avec les autres électrons.

L'aspect ondulatoire se manifeste par la fonction :

où \(\overrightarrow r\) symbolise une variable de position sur la cible. Cette fonction donne la statistique des impacts. Elle est proportionnelle à la probabilité d'impact des électrons en un point du détecteur. C'est donc par le biais de la probabilité de présence des électrons que se manifeste leur comportement ondulatoire.

A chaque instant, chaque impact obéit à cette loi de probabilité. La probabilité de présence se révèle à chaque endroit et à chaque instant, impact apres impact. Elle dépend donc des coordonnées d'espace et du temps. On l'écrit plus généralement sous la forme :

En inspectant chaque endroit de l'espace accessible aux électrons, on doit retrouver leur nombre total. La fonction \(D(\overrightarrow r, \textrm t)\) telle que définie ci-dessus est donc sommable et par définition, sa somme est égale à l'unité puisque si l'on cherche partout, on est certain de retrouver tous les électrons détectés. Autrement dit, à chaque instant la somme des probabilités doit être égale à l'unité.

La fonction \(\mathrm{D(\overrightarrow r, \textrm t)}\) se comporte exactement comme celle qui décrirait par exemple une densité de charge continue dont la somme - dans le cas d'une fonction continue, il s'agit de l'intégrale - sur tout le volume accessible donne la charge totale. Cette propriété est celle d'une densité volumique : la densité de charge est une charge par unité de volume (ou densité volumique de charge) et la probabilité de présence en un point quelconque de l'espace est aussi une probabilité par unité de volume.

On parle donc plus rigoureusement de densité de probabilité de présence et on écrit :

où \(\textrm dP\) est la probabilité de présence élémentaire dans un volume infinitésimal \(\textrm dV\).

\(\textrm P\) est la probabilité de présence dans un volume \(\textrm V\). C'est la somme (l'intégrale) des probabilités élémentaires dans le volume \(\textrm V\).