Rayon le plus probable pour l'orbitale 1s
Durée : 20 mn
Note maximale : 5
Question
L'expression de l'orbitale 1s des ions hydrogénoïdes est donnée ci-dessous :
\(\Psi_{1s}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3/2} \exp(-Z~r/\textrm{a}_{0})\)
La densité radiale (ou densité de probabilité de présence sur une sphère de rayon r), dans cet état de symétrie sphérique, est donnée par l'expression :
\(D_{1s}(r) = 4~\pi~r^{2}\Psi_{1s}^{2}\)
Le rayon le plus probable dans un état quantique donné est défini comme le rayon de la sphère sur laquelle la densité radiale est maximale.
Déterminer ce rayon le plus probable pour l'atome d'hydrogène et les ions\(\textrm{He}^{+}\)et\(\textrm{Li}^{++}\)dans l'état 1s.
Solution
La densité radiale prend la forme suivante :
\(D_{1s}(r) = 4~\big(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\big)^{3} r^{2} \exp(-2~Z~r/\textrm{a}_{0}) = Ar^{2} \exp(-2~Z~r/\textrm{a}_{0})\)
Il faut chercher le maximum de cette fonction.
\(\frac{ \partial D_{1s}}{ \partial r} = A \exp(-2~Z~r/\textrm{a}_{0}) \bigg[-\frac{2Z}{\textrm{a}_{0}}r^2 + 2r\bigg]=2~ A ~r \exp(-2~Z~r/\textrm{a}_{0})\bigg[1 - \frac{Z r}{\textrm{a}_{0}}\bigg]\)
La dérivée s'annule pour\(r = 0\),\(r = \textrm{a}_{0}/Z\)et\(r = +\infty \).
La densité radiale s'annule en\(r = 0\) et à l'infini ; le maximum est obtenu pour\(r = \textrm{a}_{0}/Z\)qui correspond au rayon le plus probable dans l'état 1s.