Fonctions usuelles et leurs réciproques

La fonction sh est continue et strictement croissante de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R.\) Elle établit une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R.\)

Elle admet donc une fonction réciproque appelée argument sinus hyperbolique et notée Argsh, qui est continue, strictement croissante et dérivable sur \(\mathbb R,\) car ch, la dérivée de sh, ne s'annule pas. On a donc :

\(\begin{cases}y = \textrm{Argsh}x\\x\in\mathbb R\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \textrm{sh}y=x\\y\in\mathbb R\end{cases}\)

En appliquant le théorème général des fonctions réciproques :

\(\forall x \in \mathbb R~~\textrm{Argsh}'x=\frac{1}{\textrm{sh}'(\textrm{Argsh}x)} = \frac{1}{\textrm{ch}(\textrm{Argsh}x)}\)

or \(\left.\begin{aligned}\textrm{ch}^2t = 1+\textrm{sh}^2t~~~~\\\textrm{ch}t>0~~~~\end{aligned}\right\}\Rightarrow \textrm{ch}t=\sqrt{1+\textrm{sh}^2t}\)

et \(\textrm{sh}(\textrm{Argsh}x)=x,\) d'où \(\textrm{ch}(\textrm{Argsh}x)=\sqrt{1+x^2}.\)

\(\forall x \in \mathbb R,~~\textrm{Argsh'}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(\left.\begin{aligned}\textrm{sh}y=x~~~~\\\textrm{ch}y=\sqrt{1+x^2}~~~~\end{aligned}\right\} \Rightarrow e^y = \textrm{sh}y + \textrm{ch}y = x + \sqrt{1+x^2}\)

d'où \(y = \ln(x+\sqrt{1+x^2})\) et il vient

\(\forall x \in \mathbb R,~~\textrm{Argsh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\)

\(\color{green}x \mapsto \textrm{Argsh}x\)

\(\color{cyan} x \mapsto \textrm{sh}x\)

\(\color{red} x \mapsto x\)

Par lecture des graphes, on retrouve que le graphe de Argsh est le symétrique de celui de sh par rapport à la droite d'équation \(y = x.\)

Le graphe de sh ayant des branches paraboliques de direction verticale, le graphe de Argsh a des branches paraboliques de direction horizontale.