Définition et propriétés
Définition :
Soient \(x\) et \(y\) deux entiers relatifs non nuls.
On dit que \(x\) divise \(y,\) ou que \(x\) est un diviseur de \(y,\) ou que \(y\) est divisible par \(x,\) ou encore que \(y\) est un multiple de \(x,\) si il existe un entier \(k\) tels que \(y = kx.\)
Notation
On notera\( x \mid y\) si \(x\) divise \(y\) et \(x \quad \not\vert \quad y\) dans le cas contraire.
Attention :
Si \(x\) divise \(y,\) vous remarquerez dans toute la suite de ce chapitre que nous n'écrivons jamais le quotient de \(y\) par \(x.\) On travaille toujours avec des égalités d'entiers et on écrit \(y = kx.\)
Propriété :
Soient trois entiers \(a, b\) et \(c\) non nuls. Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer, et seulement une indication est donnée parfois sur la démonstration.
Diviseurs évidents
Tout entier non nul et différent de 1 ou -1, est divisible par lui-même, par son opposé, par 1 et par -1.
1 et -1 ont pour seuls diviseurs 1 et -1.
Valeur absolue d'un multiple
Si un entier \(a\) divise un entier non nul \(b,\) alors \(\mid b \mid\) majore \(\mid a \mid\) :
\((a \mid b \quad \textrm {et} \quad b \neq 0) \Rightarrow \mid a\mid \leq \mid b\mid \quad b \neq 0.\)
Il existe un entier naturel \(k\) non nul, (donc \(k \geq 1\)) tel que \(b = a k.\)
Transitivité
Si un entier \(a\) en divise un second \(b,\) si l'entier \(b\) en divise un troisième \(c,\) alors l'entier \(a\) divise l'entier \(c\) :
\((a \mid b \quad \textrm {et} \quad b \mid c) \Rightarrow a \mid c.\)
En effet, il existe deux entiers \(k\) et \(h\) tels que \(b = ka\) et \(c = hb,\) donc \(c=hka,\) et donc \(a\) divise \(c.\)
Entiers mutuellement diviseurs
Si deux entiers \(a\) et \(b\) non nuls se divisent mutuellement, c'est-à-dire sont tels que \(a\) divise \(b\) et \(b\) divise \(a,\) alors ces entiers sont égaux ou opposés.
\((a \mid b \quad \textrm {et} \quad b \mid a) \Rightarrow (a = b \quad \textrm {ou} \quad a = - b)\)
En effet il existe deux entiers \(h\) et \(k\) tels que \(a = hb\) et \(b = ka,\) donc \(a = hka.\) On a donc \(hk = 1,\) \(h = 1\) ou \(h = - 1,\) c'est-à-dire \(a = b\) ou \(a = - b.\)
Diviseurs et multiples
Si un entier \(a\) divise un entier \(b,\) il divise tous ses multiples.
\(a \mid b \Rightarrow (\forall c \in \mathbb Z, a \mid bc)\)
En effet il existe un entier \(k\) tel que \(b = ak\) ; alors \(bc = akc,\) et \(bc\) est donc aussi multiple de \(a.\)
Entiers de la forme bx + cy
Si un entier \(a\) divise deux entiers \(b\) et \(c,\) il divise tous les entiers de la forme \(bx + cy,\) avec \(x\) et \(y\) entiers.
\((a \mid b \quad \textrm {et} \quad a \mid c) \Rightarrow (\forall x, y \in \mathbb Z, a \mid bx+cy)\)
En effet si \(a \mid b,\) il existe un entier \(k\) tel que \(b = ak\) ; si \(a \mid c,\) il existe un entier \(h\) tel que \(c = ah.\) Alors \(bx + cy = akx + ahy = a(kx + hy).\) On a donc montré que a divise tous les entiers \(bx + cy.\)