Théorème de Gauss
Théorème : Gauss
Soit \(n\) un entier qui divise le produit \(ab.\) Si \(n\) est premier avec \(a,\) alors il divise \(b.\)
Démonstration :
\(n\) est premier avec \(a\) donc pgcd\((n,a) = 1.\) Il existe \(u\) et \(v\) entiers tels que : \(au + nv = 1.\) Multiplions les deux membres par \(b :\)
\(\begin{array}{ccc}aub + nv&=&b\\(ab)u + nvb&=&b\end{array}\)
\(n\) divise \(ab\) et \(nvb\) donc \(abu + nvb,\) par conséquent \(n\) divise \(b.\)
Corollaire :
Si \(a\) est premier avec \(b,\) et si \(a\) est premier avec \(c,\) alors il est premier avec \(bc.\)
Nous pouvons donner deux démonstrations de ce corollaire. Celles-ci illustrent l'utilisation des théorèmes de Bézout et de Gauss. Supposons \(a\) premier avec \(b\) et avec \(c.\)
Démonstration : N°1
Celle-ci utilise le théorème de Gauss. Soit \(\delta\) un diviseur commun à \(a\) et \(bc.\) Comme \(\delta\) est un diviseur de \(a\) qui est premier avec \(b,\) on sait que \(\delta\) est premier avec \(b\) et divise \(bc,\) et donc que \(\delta\) divise \(c,\) d'après le théorème de Gauss. \(\delta\) diviseur commun à \(a\) et \(c,\) supposés premiers entre eux est égal à 1. Le seul diviseur commun possible à \(a\) et \(bc\) est 1, donc \(a\) est premier avec \(bc.\)
Démonstration : N°2
en appliquant le théorème de Bézout, il existe deux couples d'entiers \((u,v)\) et \((x,y)\) tels que :
\(au + bv = 1 \quad \textrm {et} \quad ax + cy = 1.\)
En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient :
\(\begin{array}{ccc}(au + bv)(ax + cy)&=&1\\a(aux + bvx + cuy) + (bc)(vy)&=&1\end{array}\)
D'après le corollaire du théorème de Bézout, ceci entraîne que \(a\) et \(bc\) sont premiers entre eux, et donc que \(a\) est premier avec \(bc.\)