Plan d'étude
Condition d'existence de solutions
Simplification de l'équation
Détermination d'une solution
Détermination de toutes les solutions
Récapitulation
Dans l'étude d'une équation diophantienne
\(\alpha X + \beta Y = \gamma\)
en multipliant éventuellement par \(- 1\) et en changeant l'ordre des termes, on peut se ramener aux deux cas suivants, en désignant par \(a\) sup \((\mid \alpha\mid , \mid \beta \mid )\) et par \(b\) min (\(\mid \alpha\mid,\mid\beta\mid)\)
\(ax + by = c\) si \(\alpha\) et \(\beta\) sont de même signe
\(ax - by = c\) si \(\alpha\) et \(\beta\) sont de signes contraires.
a :
b :
c :
Dans ce programme il est fait usage de la division euclidienne dans \(\mathbb Z.\) Pour le calcul pratique, les étudiants peuvent aussi se ramener toujours au premier cas et adopter les solutions trouvées suivant la méthode étudiée en exercice.
Exemple : Résolution d'une équation
Prenons l'équation \((E) :\)
\(95991 x + 13083 y = n\)
\(\textrm {pgcd} (95991, 13083) = 147\)
et
\(3 \times 95991 - 22 \times 13083 = 147\)
\(95991 = 147 \times 653\)
et
\(13083 = 147 \times 89\)
--- Condition d'existence de solutions : si 147 ne divise pas \(n\) l'équation est impossible, elle n'a pas de solutions.
--- Simplification de l'équation : si 147 divise \(n,\) on pose \(n = 147 \times n',\) on se ramène à l'équation : \(653 x + 89y = n',\) par simplification par 147. Cette équation a les mêmes solutions que l'équation \((E).\)
--- Détermination d'une solution :
on cherche une solution de l'équation \(653x + 89y = 1\) dont on connaît une solution \((3, - 22).\)
On en déduit une solution \((x_0= 3n', y_0 = -22n')\) pour l'équation avec le second membre \(n'.\) C'est aussi une solution de \((E).\)
--- Détermination de toutes les solutions de \((E):\)
\(\begin {array}{cccc}&653 x + 89 y&=&n'\\&653 x_0 + 89 y_0&=&n' \\\textrm {et par soustraction :}&653 (x - x_0) + 89 (y - y_0) &=&0\\&653 (x - x_0)&=&- 89 (y - y_0)\end {array}\)
Il est indispensable d'avoir simplifié par 147 si on veut pouvoir appliquer le théorème de Gauss pour montrer que 89 divise \((x - x_0),\) qu'il existe un entier \(k\) tel que \((x - x_0) = 89k.\) On obtient en reportant dans l'équation \((y - y_0) = - 653 k,\) (et non en appliquant une deuxième fois le théorème de Gauss).
--- Récapitulation : on a donc obtenu l'ensemble \(S\) des solutions de l'équation \((E),\) quand la condition de possibilité est vérifiée :
\(S = \{(3n' + 89k,- 22n' - 653k) \mid k \in \mathbb Z\}\)